Exercícios Resolvidos de Otimização – Modelagem

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Enunciado

Encontre o menor segmento de reta contido no primeiro quadrante ligando o eixo x ao eixo y e passando pelo ponto P = 1,2 .

Passo 1

A ideia inicial é fazer um esboço geral da situação para uma reta qualquer que passe em 1,2 e toque os dois eixos para poder determinar parâmetros que ajudem a determinar a função para ser otimizada.

i m a g e m   r e t i r a d a   d o   g a b a r i t o   o f i c i a l

Chamando de A = 0 , h o ponto onde a reta toca o eixo y e B = b , 0 o ponto onde toca o eixo x podemos, por semelhança de triângulos, encontrar as relações seguintes entre as medidas de altura e de base dos triângulos da figura:

2 b - 1 = h - 2 1 = h b

Além disso, podemos observar que o segmento A B será dado, por Pitágoras, pela raiz da soma dos quadrados da base e da altura do triângulo maior:

L = b 2 + h 2

Das relações de semelhança, podemos tirar que b = 1 + 2 h - 2 . Com isso, a nossa função para otimizar será essa aqui:

L h = 1 + 2 h - 2 2 + h 2

Passo 2

Derivando esse cara e o igualando a 0 :

L ' h = 1 + 2 h - 2 2 + h 2 ' 2 1 + 2 h - 2 2 + h 2 = 0

L ' h = 2 1 + 2 h - 2 1 + 2 h - 2 ' + 2 h 2 1 + 2 h - 2 2 + h 2 = 0

1 + 2 h - 2 - 2 h - 2 2 + h = 0

- 2 h - 2 - 4 h - 2 3 + h = 0

- 2 h h - 2 3 + h = 0 → h - 2 h - 2 3 + 1 = 0

Como h ≠ 0 , temos que ter h - 2 3 = 2 para otimizar a função.

h - 2 = 2 3 → h = 2 + 2 3

Agora repara o seguinte, para h → ∞ e para h → 2 , o mínimo possível de acordo com o problema, temos L h → ∞ . Com isso, fica visível que, se só achamos um ponto crítico, que será um mínimo. Enfim, o L mínimo é o L 2 + 2 3 :

L 2 + 2 3 = 1 + 2 2 3 2 + 2 + 2 3 2

= 1 + 4 2 3 + 4 4 3 + 4 + 4 2 3 + 4 3

Efetuando as racionalizações, semelhante ao exemplo:

4 2 3 ⋅ 2 2 3 2 2 3 = 4 2 2 3 2 3 3 = 2 2 2 3

Obteremos...

L 2 + 2 3 = 1 + 2 2 2 3 + 2 2 3 + 4 + 4 2 3 + 4 3     →

L 2 + 2 3 = 5 + 3 4 3 + 6 2 3   u . m .

Resposta

L = 5 + 3 4 3 + 6 2 3   u . m .

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