Exercícios Resolvidos de Otimização – Modelagem

Ver Teoria

Enunciado

Uma lata cilíndrica é feita para receber um litro de óleo. Encontre as dimensões que minimizarão o custo do metal para produzir a lata.

Passo 1

Fala galerinha, beleza? Bora brincar um pouco com problema de otimização!

Essa é uma questão bem tradicional sobre máximos e mínimo de funções de uma variável. Vamos considerar uma lata cilíndrica de raio r e altura h . A área total da superfície desse cilindro é

A = 2 A b a s e + A l a t e r a l

Consideremos duas vezes a área da base pois temos que considerar tanto a base quanto a tampa. Assim,

A = 2 π r 2 + 2 π r h

Nós queremos achar as dimensões que minimizam o custo, isto é, que tenham a menor área possível, reduzindo a quantidade de material usada. O problema é que a área é uma função de duas variáveis: r e h . Como resolver esse impasse?

A resposta está no volume, que é fixo V = 1   L = 1000   c m 3 . Sabemos que

V = π r 2 h → h = V π r 2

Usando as dimensões em c m , podemos escrever

h = 1000 π r 2

Substituindo na relação da área:

A = 2 π r 2 + 2 π r ⋅ 1000 π r 2

Vou chamar essa função de f :

f r = 2 π r 2 + 2000 r

Nosso objetivo é minimizar essa função!

Passo 2

Antes de minimizar a função, vale ressaltar que r > 0 por motivos geométricos.

Derivando a função e igualando a zero nós achamos os pontos críticos:

f ' r = 4 π r - 2000 r 2 = 0 → r 3 = 500 π

Portanto, o único ponto crítico ocorre em

r = 500 π 3 = 5 4 3 π 3

Precisamos conferir se esse ponto corresponde a um ponto de mínimo da função. Uma forma de fazer isso é tomar a segunda derivada e verificar se f ' ' r > 0 nesse ponto. Mas eu vou fazer isso de um jeito mais interessante e que não envolve conta!

Pela natureza do problema, é muito razoável supor que o problema tem solução, isto é, existe um valor de r que minimiza f . Desta forma, sabemos que existe um mínimo de f . Como a função é bem comportada (contínua e derivável) para r > 0 e apresenta um único ponto crítico, esse ponto crítico precisava corresponder ao mínimo (que garantimos existir)! Viu como é bem mais fácil que fazer conta?

PS: eu só pude fazer esse argumento pois havia um único ponto crítico da função. Caso contrário, você precisa brincar mais com as contas...

Passo 3

Agora que temos r , fica fácil achar h :

h = 1000 π r 2 = 1000 π 500 π 2 3

Ou ainda,

h = 1000 π π 2 500 2 3 = 100 π   π 2 250 3 = 20 2 π 3

Logo, as dimensões do cilindro que minimizam o custo são

r = 5 4 3 π 3   c m             e           h = 20 2 π 3   c m

Resposta

r = 5 4 3 π 3   c m             e           h = 20 2 π 3   c m

Exercícios de Livros Relacionados

Estão dados os gráficos da função posição de dois corredores, A e B que correm 100 metros rasos e terminam empatados.Descreva e compare como os corredores correram a prova.Em que instante a distância
Se a meia-vida do rádio for de 1.690 anos, que porcentagem da quantidade presente agora restará após:a) 100 anos?
Nos exercícios de 40 a 45, uma partícula está se movendo ao longo de uma reta, de acordo com a equação de movimento dada, onde s cm é a distância orientada entre a partícula e a origem no instante t s
Encontre (d^3 y)/(d x^3) se y = sqrt(3 - 2 x) .
Um objeto está escorregando por um plano inclinado de acordo com a equação s = 12 t 2 + 6 t , onde s m é a distância orientada do objeto até o topo do plano, após t s do início do movimento. (a) Ache