Exercícios Resolvidos de Otimização – Modelagem

UFF - Cálculo IA - Lista 16 – 9

Um quadro de altura H está pendurado em uma parede vertical de modo que sua borda inferior está a uma altura h do raio de visão horizontal de um observador. A que distância da parede deve colocar-se o observador para que a sua posição seja a mais vantajosa para contemplar o quadro, isto é, para que o ângulo de visão seja máximo?

Passo 1

Agora que chegamos até aqui, vamos diluir os passos e ser mais diretos na resolução.

Vou esboçar então o que a questão pede, onde o pedaço em vermelho é o quadro e em laranja essa distância ao chão, com o ângulo de nome θ .

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Olha o que dá para dizer se eu chamar aquele ângulo de visão da parte inferior do quadro com a horizontal de ϕ e a distância da pessoa que vê o quadro horizontalmente ao quadro de d .

tg ⁡ ( ϕ ) = h d

tg ⁡ ( ϕ + θ ) = H + h d

Não sei se você vai lembrar, mas existe uma fórmula relacionando soma de tangentes. É essa aqui:

tg ⁡ x + y = tg ⁡ x + tg ⁡ y 1 - tg ⁡ x   ⋅ tg ⁡ y

Se eu somar as tangentes de θ e de ϕ eu vou achar uma expressão que me trará a cara da tangente de θ . Tendo ela posso procurar um meio de otimizar esse θ .

tg ⁡ ϕ + θ = tg ⁡ ϕ + tg ⁡ θ 1 - tg ⁡ ϕ   ⋅ tg ⁡ θ

H + h d = h d + tg ⁡ θ 1 - h d ⋅ tg ⁡ θ

H + h d 1 - h d ⋅ tg ⁡ θ = h d + tg ⁡ θ

H + h d - h d = tg ⁡ θ 1 + H + h h d 2

H d = tg ⁡ θ d 2 + H + h h d 2

tg ⁡ ( θ ) = H d d 2 + H + h h

Passo 3

Vamos lembrar uma coisa, a questão pede para encontrarmos a distância que gera o maior ângulo de visão. Logo, é como se tivéssemos que achar um θ ( d ) e, a partir dele, descobrir em θ ' d = 0 o d que gera o maior θ . Enfim, podemos fazer isso implicitamente, já no formato que está aqui em cima, com o detalhe que θ ' deve ser 0 no ponto em questão.

θ ' sec 2 ⁡ θ = H d ' d 2 + H + h h - H d d 2 + H + h h ' d 2 + H + h h 2

0 = H d 2 + H + h h - H d 2 d d 2 + H + h h 2

0 = H d 2 + H 2 h + H h 2 - 2 H d 2

H d 2 = H 2 h + H h 2

d 2 = h ( H + h )

d = h H + h

Essa é a nossa distância, em termos das alturas!

Resposta

d = h H + h

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