Exercícios Resolvidos de Otimização – Modelagem

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Enunciado

Uma calha deve ser construída com uma folha de metal de largura 30 c m , dobrando-se para cima 1 / 3 da folha de cada lado, fazendo-se um ângulo θ com a horizontal. Como deve ser escolhido θ de forma que a capacidade de carregar a água na calha seja máxima?

Passo 1

Fala aí, pessoal! Todos prontos para mais um exercício de encontrar o Ponto Máximo? Vamos começar imaginando essa calha, o formato é de um trapézio com um comprimento indefinido:

O enunciado nos pede o ângulo para máximo para que a capacidade de carregar água seja máxima, logo estamos falando sobre o VOLUME!

O Volume da calha nada mais é do que o produto da área A pelo comprimento da calha:

V = A ⋅ c o m p r i m e e n t o

Você concorda comigo que o comprimento não vai mudar com o ângulo de abertura dado no enunciado? Então podemos analisar apenas a área trapezoidal da nossa calha e pensar no ângulo que torna essa área máxima:

A m á x i m a → V m á x i m o

Passo 2

Vamos olhar com carinho para essa área agora:

Como estamos falando de um trapézio, temos uma base menor b , uma base maior B e a altura h . Além disso o enunciado nos disse que com a horizontal, os lados do trapézio formam um ângulo θ tanto de um lado quanto de outro. Logo a fórmula da área do trapézio pode ser escrita como:

Como o enunciado também nos disse, tanto a base menor quanto as laterais do trapézio que foram dobradas medem 10   c m :

Olhando com mais atenção para o triângulo formado entre a altura, o lado dobrado e o ângulo θ :

Podemos encontrar uma relação entre os valores de h , θ e o lado dobrado ( 10 c m ) :

sen ⁡ θ = h 10   → h = 10 sen ⁡ θ

Além disso também podemos encontrar uma terceira distância que vamos chamar de x :

cos ⁡ θ = x 10   → x = 10 cos ⁡ θ

Você ta me perguntando pra que vamos usar o valor de x , mas eu já vou te mostrar!

Lembra a fórmula da área do trapézio:

A = B + b ⋅ h 2

Nós já sabemos o valor de b , acabamos de descobrir o valor de h , mas ainda não sabíamos o valor de B . Agora olha comigo para esse desenho aqui:

Veja se você concorda comigo, B é a soma de b com aqueles dois pedacinhos, onde cada um mede x :

B = b + 2 x

Passo 3

Nossa área do trapézio é:

A = B + b ⋅ h 2

A = b + 2 x + b ⋅ h 2 = 2 b + 2 x ⋅ h 2 = 2 ⋅ b + x ⋅ h 2 = b + x ⋅ h

Substituindo:

x = 10 cos ⁡ θ

h = 10 sen ⁡ θ

b = 10

A = 10 + 10 cos ⁡ θ ⋅ 10 sen ⁡ θ

A = 100 sen ⁡ θ + 100 sen ⁡ θ ⋅ cos ⁡ θ

Podemos simplificar, colocando o termo 100 em evidência:

A = 100 s e n θ + s e n θ ⋅ cos ⁡ θ

Para encontrar o valor de θ que maximiza a função da área, precisamos derivar essa função em relação a θ :

A ' = 100 ⋅ s e n θ ' + s e n θ ⋅ cos ⁡ θ '

Utilizando a regra da derivada do produto:

A ' = 100 ⋅ cos ⁡ θ + cos ⁡ θ ⋅ cos ⁡ θ + s e n θ ⋅ - s e n θ

Encontramos:

A ' = 100 ⋅ cos ⁡ θ + cos 2 ⁡ θ - s e n 2 θ

Lembrando da relação trigonométrica:

s e n 2 θ + cos 2 ⁡ θ = 1

Logo:

s e n 2 θ = 1 - cos 2 ⁡ θ

Substituindo:

A ' = 100 ⋅ cos ⁡ θ + cos 2 ⁡ θ - ( 1 - cos 2 ⁡ θ )

A ' = 100 ⋅ cos ⁡ θ + cos 2 ⁡ θ - 1 + cos 2 ⁡ θ

Encontramos então uma função do segundo grau, onde normalmente vemos o x , dessa vez estamos vendo c o s ⁡ ( x ) :

A ' = 100 ⋅ 2 x 2 + x - 1 → A ' = 100 ⋅ 2 ⋅ cos 2 ⁡ θ + cos ⁡ θ - 1

A ' = 100 ⋅ 2 ⋅ cos 2 ⁡ θ + cos ⁡ θ - 1

Passo 4

Para encontrar o ponto de máximo, da função da área, precisamos igualar a derivada a zero:

A ' = 0

A ' = 100 ⋅ 2 ⋅ cos 2 ⁡ θ + cos ⁡ θ - 1 = 0

Percebemos que temos uma equação de segundo grau igual a zero:

2 ⋅ cos 2 ⁡ θ + cos ⁡ θ - 1 = 0

Então podemos usar Bhaskara para resolver:

cos ⁡ θ = - 1 ± 1 2 - 4 ⋅ 2 ⋅ - 1 2 ⋅ 2

cos ⁡ θ = - 1 ± 1 + 8 4 = - 1 ± 9 4

cos ⁡ θ = - 1 ± 3 4

Temos duas possibilidades:

cos 1 ⁡ θ = - 1 + 3 4 = 2 4

cos 1 ⁡ θ = 0,5

cos 2 ⁡ θ = - 1 - 3 4 = - 4 4

cos 2 ⁡ θ = - 1

Vamos encontrar os ângulos:

θ 1 = a r c o s θ 1

θ 2 = a r c o s ( θ 2 )

Substituindo os valores de cossenos que nós encontramos através de Bhaskara:

cos 1 ⁡ θ = 0,5

cos 2 ⁡ θ = - 1

Então:

θ 1 = a r c o s 0,5 = 60 °

θ 2 = a r c o s - 1 = 180 °

Analisando essas duas respostas, podemos ter um ângulo de 180°? Não, porque esse ângulo não permitiria ter a área do trapézio. Logo, nosso ângulo de abertura que maximiza a capacidade da calha de carregar água é o ângulo de 60 ° .

Resposta

θ = 60 °

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