Exercícios Resolvidos de Otimização – Modelagem

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Enunciado

Dentre os retângulos limitados pelo eixo x , pelo eixo y e pelo gráfico de f : 0,1 → R definida por f x = x - 1 2 (conforme a figura), determine as dimensões do retângulo de área máxima.

Passo 1

Bom, a área desse retângulo é dada pela base vezes a altura. No caso, a base é a distância horizontal entre o ponto do gráfico e o eixo y , que acaba sendo x mesmo. Já a altura é dada por f x , o que nos faz concluir que a área A é dada por:

A = x . f x

A = x x - 1 2 = x x 2 - 2 x + 1

A = x 3 - 2 x 2 + x

Passo 2

Para otimizá-la vamos derivar a área em função de x e igualar o termo a 0 :

A ' x = 3 x 2 - 4 x + 1 = 0

Por Bhaskara, temos que as raízes serão:

x = - - 4 ± 16 - 12 2 3

= 4 ± 4 6

= 2 ± 1 3

x 1 = 1 3 ; x 2 = 1

Como vemos que ao substituir x = 1 na função teríamos uma área nula:

A 1 = 1 1 - 1 2 = 0

Podemos concluir que o x responsável pelo retângulo de área máxima é x = 1 3 .

Uma vez que x é a base do retângulo e f x a sua altura, descobrimos:

B a s e = 1 3   ; A l t u r a = f 1 3 = 4 9

Essas são as dimensões do nosso retângulo, 1 3 x 4 9 !

Resposta

B a s e = 1 3   ; A l t u r a = 4 9

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