Exercícios Resolvidos de Otimização – Modelagem

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Enunciado

1 5 . O volume máximo do cilindro circular reto que pode ser inscrito numa esfera de raio 3 5 2 6   c m é igual a

A : 3 13 2 16 π 3   c m 2

B : 3 1 4 2 16 π   c m 2

C : 3 13 2 1 7 π   c m 2

D : 3 1 2 2 16 π 2   c m 2

E : 3 1 4 2 1 7 π 3   c m 2

Passo 1

Vem comigo que a gente detona essa juntos!

Temos um problema de otimização em mãos, temos que encontrar o volume máximo do cilindro que cabe dentro da esfera com raio que o enunciado nos deu temos que relacionar o volume do cilindro com o raio da esfera de alguma forma.

Para um cilindro circunscrito em uma esfera de raio R , temos a seguinte relação:

R 2 = h 2 4 + r 2

Onde R é o raio da esfera, h a altura do cilindro e r o raio do cilindro.

O volume do cilindro é dada por:

V = π r 2 h

Podemos isolar r na primeira equação substituir na equação do volume do cilindro e teremos V em função de h , aí basta derivarmos V em fnção de h e encontrar o valor de h que faz esse volume ser máximo e depois substituirmos na equação do volume.

Passo 2

Temos o seguinte então:

R 2 = h 2 4 + r 2

⇒ r 2 = R 2 - h 2 4

Substituindo isso em V , temos:

V = π R 2 - h 2 4 h = π h R 2 - h 3 4

Passo 3

Agora vamos derivar essa expressão do volume em função de h , assim:

V ' = π R 2 - 3 h 2 4

Igualando a zero, temos:

π R 2 - 3 h 2 4 = 0

R 2 - 3 h 2 4 = 0

⇒ h = 2 R 3

Então o volume máximo é dado por:

V = π 2 R 3 R 2 - 1 4 2 R 3 3

= π 2 R 3 R 2 - 1 4 2 R 3 3

Então temos que:

V = π 2 R 3 3 - 1 4 8 R 3 3 3

= π 2 R 3 3 - 1 3 2 R 3 3

Assim temos que:

V = π 4 3 R 3 3

Passo 4

Agora vamos substituir o valor de R no que encontramos, temos:

V = π 4 3 3 R 3

= π 2 2 3 3 2 3 5 2 6 3

= π 2 2 3 3 2 3 15 2 18

Então temos que:

V = π 3 13 2 16 3   c m 3

Então nossa alternativa correta é a letra A .

Resposta

A : 3 13 2 16 π 3   c m 2

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