Exercícios Resolvidos de Otimização – Modelagem

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Enunciado

Q03) Deseja-se construir um reator nuclear em uma usina elétrica. O reator tem formato cilíndrico e será instalado dentro de uma cúpula semi-esférica de raio igual a 15   m e t r o s , conforme ilustra a figura abaixo. Determine o raio da base do cilindro de maior volume que pode ser instalado dentro da cúpula.

Passo 1

Vamo que vamo. A questão quer maximizar o volume, certo? Então vamos escrever ele. Sendo o volume do cilindro, temos:

V = A b a s e ∙ H = π r 2 h

Mas peraí, não da pra otimizar assim né? Tem duas variáveis! Realmente não dá! Vamos precisar relacionar as variáveis então. Pra isso, vamos parar de pensar em 3 D e vamos pro 2 D . Fazendo um corte na figura, temos:

Temos então um retângulo inscrito em uma semi-circunferência que, como a equação de uma circunferência é:

x 2 + y 2 = R 2

Nesse caso, sendo R = 15 m e já que estamos trabalhando só com a parte de cima, temos:

x 2 + y 2 = 15 2

y 2 = 225 - x 2

y = f x = 225 - x 2

Ou seja, conseguimos modelar a equação da curva! Pra facilitar ainda mais, como o problema é simétrico, vou dividir essa figura pela metade, e teremos:

Saca só agora. Como o raio do cilindro inscrito é mutável, a figura acima não é estática. Se brincarmos de mexer o raio vamos mudar a forma desse retângulo acima, saca só:

Qual a conclusão que tiramos então? É que podemos dar nome aos bois nesse retângulo:

E veja bem, qualquer que tenha sido o raio que eu escolhi, ele sempre esteve sobre o eixo x no exato valor de x ! E pra cada raio que eu escolho, a altura h é igual a uma reta que sai do eixo x até a curva. E o que é isso se não a própria equação da função? Concluímos então que:

r = x

h = f x

E logo a equação do volume fica:

V = π r 2 h

V = π x 2 f x

V x = π x 2 225 - x 2

Passo 2

Agora que montamos a função a ser otimizada, precisamos achar os pontos críticos dela. Pra isso, bora derivar em relação a x então:

V ' x = π x 2 ' 225 - x 2 + π x 2 225 - x 2 '

V ' x = 2 π x 225 - x 2 + π x 2 2 225 - x 2 225 - x 2 '

V ' x = 2 π x 225 - x 2 + π x 2 2 225 - x 2 - 2 x

V ' x = 2 π x 225 - x 2 - π x 3 225 - x 2

Colocando no mesmo denominador:

V ' x = 2 π x 225 - x 2 225 - x 2 - π x 3 225 - x 2

V ' x = 450 π x - 2 π x 3 - π x 3 225 - x 2

V ' x = 450 π x - 3 π x 3 225 - x 2

E igualando a 0 , precisamos só nos preocupar com o numerador. Logo:

450 π x - 3 π x 3 = 0

450 π - 3 π x 2 = 0

450 - 3 x 2 = 0

150 - x 2 = 0

x 2 = 150

x = 5 6

Como r = x , então:

r = 5 6   m

Passo 3

Antes de fecharmos a questão, vamos só testar as fronteiras e ver se o valor que achamos é o que maximiza mesmo o volume. Lembra que podíamos brincar de mexer com o raio?

Mas não podíamos escolher qualquer um né? Tinhamos que necessariamente escolher um r que estivesse entre 0 e 15   m . Opa, então são essas as fronteiras! Testando elas na fórmula do volume:

V 0 = π 0 2 225 - 0 2 = 0

V 15 = π 15 2 225 - 15 2 = 225 π 225 - 225 = 0

Se parar pra pensar, geometricamente faz sentido, um raio nulo zera o volume do cilindro e um raio máximo zera a altura do cilindro! Se as fronteiras não deram em nada, então realmente:

r = 5 6   m

É o valor de raio que maximiza o volume do cilindro inscrito

Resposta

r = 5 6   m

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