Exercícios Resolvidos de Otimização – Modelagem

Ver Teoria

Enunciado

Determine o retângulo de área máxima, e lados paralelos aos eixos coordenados inscritos na elipse de equação 4 x 2 + y 2 = 1

Passo 1

Antes da gente partir pras contas, vamos visualizar o que a questão pede. Como temos uma elipse, se reescrevermos a equação:

4 x 2 + y 2 = 1

x 2 1 4 + y 2 1 = 1

x 2 1 2 2 + y 2 1 2 = 1

x - 0 2 1 2 2 + y - 0 2 1 2 = 1

Vemos que essa é uma elipse de centro 0,0 com semieixo vertical igual à 1 e semieixo horizontal igual à 1 2 . Esboçando, temos:

Queremos um retângulo inscrito nessa elipse, de lados paralelos ao eixo. Beleza, vamos desenhar:

Pela simetria do problema, vamos chamar a altura desse retângulo de 2 H e a base de 2 B . Sendo assim, a área desse retângulo vai ser:

A = 4 B H

E olha só, queremos achar o retângulo de maior área, então é exatamente a função A que queremos otimizar! Mas bem, ela do jeito que tá não resolve nada porque não vamos ter A como uma função de uma única variável. Vamos modelar então A !

Passo 2

Pra modelar A vamos olhar só o primeiro quadrante do plano. Assim enrola menos a nossa cabeça:

Vamos pensar no B primeiro, veja que quando eu quero um retângulo no primeiro quadrante que tenha base igual à 0,1 , vamos ter x = 0,1 . E ainda, que quando queremos que esse retângulo acima tenha base B = 0,3 , vamos ter x = 0,3 :

Opa, já que é assim então, vamos ter

B = B x = x

Agora vamos tentar escreve H = H x . Dá uma olhada na imagem acima, toda vez que mudamos B mudamos H também, mas sempre H tem o tamanho igual à altura da curva naquele ponto x ! Sendo assim, como a parábola é:

4 x 2 + y 2 = 1

Isolando y :

y 2 = 1 - 4 x 2

y = ± 1 - 4 x 2

Como estamos falando do primeiro quadrante, y > 0 , e logo a altura da curva é dada por:

y = 1 - 4 x 2

E se H é a altura da curva, vamos ter:

H = H x = 1 - 4 x 2

E fechamos a modelagem! A área desse retângulo vai ser:

A = 4 B H

A x = 4 x 1 - 4 x 2

Passo 3

Agora que A ta modelado, é só a gente por a mão na massa. Queremos achar o x que maximiza A x . Então bora derivar e igualar à 0 pra procurar os pontos críticos dessa área:

A ' x = 4 x 1 - 4 x 2 '

A ' x = 4 x ' 1 - 4 x 2 + 4 x 1 - 4 x 2 '

A ' x = 4 1 - 4 x 2 + 4 x 1 2 1 - 4 x 2 1 - 4 x 2 '

A ' x = 4 1 - 4 x 2 + 4 x 1 2 1 - 4 x 2 - 8 x

A ' x = 4 1 - 4 x 2 - 1 6 x 2 1 - 4 x 2

Igualando à 0 :

A ' x = 0

4 1 - 4 x 2 = 16 x 2 1 - 4 x 2

1 - 4 x 2 = 4 x 2

8 x 2 = 1

x = ± 2 4

Mas como só estamos olhando o primeiro quadrante, não vamos nem considerar valores negativos. O único ponto crítico pra gente checar vai ser:

x = 2 4

Mas será que ele vai ser um ponto de máximo mesmo? Vamos ver. Escolhendo um pon to antes desse, como por exemplo, x = 0,1 , bora checar o sinal da primeira derivada:

A ' 0,1 = 4 1 - 4 0,1 2 - 16 0,1 2 1 - 4 0,1 2 = 3,76 > 0

E checando um ponto um pouco depois, como x = 0,4 por exemplo, temos:

A ' 0 , 4 = 4 1 - 4 0 , 4 2 - 16 0 , 4 2 1 - 4 0 , 4 2 = - 1,87 < 0

E veja só! Como a primeira derivada dá a inclinação da reta tangente, se antes a função era crescente (inclinação positiva) e depois é decrescente (inclinação negativa), então de fato:

x = 2 4

É um ponto de máximo! Sendo assim, calculamos as dimensões de área máxima fazendo:

B 2 4 = 2 4

H 2 4 = 1 - 4 2 4 2 = 1 - 4 2 16 = 1 2 = 2 2

Como o retângulo grande tem altura 2 H e base 2 B , fechamos a questão multiplicando os resultados acima por 2 :

A l t u r a = 2   B a s e =   2 2

Resposta

A l t u r a = 2   B a s e =   2 2

Exercícios de Livros Relacionados

Estão dados os gráficos da função posição de dois corredores, A e B que correm 100 metros rasos e terminam empatados.Descreva e compare como os corredores correram a prova.Em que instante a distância
Se a meia-vida do rádio for de 1.690 anos, que porcentagem da quantidade presente agora restará após:a) 100 anos?
Nos exercícios de 40 a 45, uma partícula está se movendo ao longo de uma reta, de acordo com a equação de movimento dada, onde s cm é a distância orientada entre a partícula e a origem no instante t s
Encontre d 3 y d x 3 se y = 3 - 2 x .
Um objeto está escorregando por um plano inclinado de acordo com a equação s = 12 t 2 + 6 t , onde s m é a distância orientada do objeto até o topo do plano, após t s do início do movimento. (a) Ache