Exercícios Resolvidos de Otimização – Modelagem

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Enunciado

Um copo na forma de um cone é produzido cortando-se um setor circular de um disco de raio 1 , como indicado na figura:

  1. Escreva o volume do copo como função do raio r da base do copo
  2. Determine o maior volume possível desse copo

Passo 1

Enunciado enrolado né? Mas relaxa que vamos tirar de letra. Pra ficar um pouco mais claro como esse copo foi construído, que tal umas imagens? Olha o passo a passo. Primeiro, cortou o setor circular

Depois juntou as pontas e montou o cone:

Opa, fazendo isso, o que restou da circunferência, abaixo, em vermelho, é exatamente a circunferência da base do copo:

E, além disso, o raio da circunferência vira essa linha do cone, em verde:

Dando nome aos bois, podemos resedesenhar o cone com linhas importantes dele nomeadas:

E como o volume do cone é:

V = 1 3 π r 2 h

Pra gente terminar de modelar essa equação em função de r falta só uma coisita: achar uma expressão de h em função de r . Pra isso galera, dá uma boa olhada naquele R zão ali. Pô, a gente sabe esse valor! Ele é exatamente a linha verde que marcamos anteriormente, que é o raio da circunferência! O enunciado deu isso pra gente! Vamos ter então:

E por Pitágoras:

h 2 + r 2 = 1

h = 1 - r 2

Juntando tudo, temos:

V r = 1 3 π r 2 1 - r 2

Passo 2

Show de bola. Agora vamos achar o maior volume. Pra otimizar, temos que derivar e igualar a zero para achar os pontos críticos, ok? Vamos ter:

V ' r = 1 3 π r 2 1 - r 2 '

V ' r = 1 3 π r 2 ' 1 - r 2 + r 2 1 - r 2 '

V ' r = 1 3 π 2 r 1 - r 2 + r 2 2 1 - r 2 1 - r 2 '

V ' r = 1 3 π 2 r 1 - r 2 + r 2 2 1 - r 2 - 2 r

V ' r = 1 3 π 2 r 1 - r 2 - r 3 1 - r 2

Colocando no mesmo denominador:

V ' r = 1 3 π 2 r 1 - r 2 1 - r 2 - r 3 1 - r 2

V ' r = 1 3 π 2 r - 2 r 3 - r 3 1 - r 2

V ' r = 1 3 π 2 r - 3 r 3 1 - r 2

Pra essa minah derivada zerar, a única forma possível é se o numerador zerar. Show, vamos ter então que:

2 r - 3 r 3 = 0

3 r 3 = 2 r

3 r 2 = 2

r = ± 2 3

Bem, pontos críticos achados. No entanto, o negativo a gente pode descartar porque raio negativo não existe. Pra saber se esse ponto crítico maximiza o volume, o jeito é calcular o volume trocando r na expressão de V r :

V 2 3 = 1 3 π 2 3 2 1 - 2 3 2

V 2 3 = 1 3 π 2 3 1 - 2 3

V 2 3 = 2 π 9 1 3 = 2 π 9 3 = 2 π 3 9 ∙ 3 = 2 π 3 27

Só tem mais uma coisa que temos que fazer: comparar com o valor do volume nas fronteiras. A primeira é o caso em que o raio nem sequer existe, ou seja, r = 0 :

V 0 = 1 3 π ∙ 0 2 ∙ 1 - 0 2 = 0

Ou seja, como V 2 3 > V 0 por enquanto temos sim um volume máximo. Afinal, entre 0 e 2 3 o volume cresceu. Pra ser de máximo mesmo então, o volume tem que decrescer a partir de r = 2 3 . Pra checar isso, testamos a outra fronteira, r = 1 , a fronteira na qual pra r > 1 a raiz no interior da fórmula de V r fica negativa. Belê, calculando:

V 1 = 1 3 π ∙ 1 2 ∙ 1 - 1 2 = 0

E de novo temos V 2 3 > V 1 . Como o volume cresce, chega ao seu máximo e depois volta a decrescer, o maior volume pra esse cone será:

V 2 3 = 2 π 3 27

Resposta

  1. V r = 1 3 π r 2 1 - r 2
  2. V 2 3 = 2 π 3 27

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