Exercícios Resolvidos de Otimização – Modelagem

Ver Teoria

Enunciado

Um oleoduto tem a forma de curva y = 1 - x 2 com 0 ≤ x ≤ 1 , x e y medidos em quilômetros. Será construída uma cerva tangente à curva y = 1 - x 2 no ponto P ≠ 0,1 . Determine as coordenadas do ponto P de modo que a área da região triangular formada pela cerva e pelos eixos seja mínima.

Passo 1

Para variar, vamos começar desenhando a figura, né? Meu oleoduto é a parábola em vermelho e a reta azul é a tangente que passa em P .

Ok, a partir daqui temos que analisar as características dessa reta e, então, minimizar a área que essa reta forma com os eixos x e y . Repara também que a análise tá restrita ao 1 º quadrante, já que ele disse que o oleoduto vai só de x = 0 até x = 1 , e que a área desse triângulo que nos interessa é:

A = ( B ) . h 2

Ok, e como minimizar essa área? Temos que escrevê-la em uma só variável, mas até lá vamos ter que pensar sobre essa reta, o que já sabemos dela. Bom, se ela é tangente ao

f x = 1 - x 2

Nós sabemos que seu coeficiente angular será dado por a = f ' ( x 0 ) , onde esse x 0 é justamente o x do ponto P .

Nesse caso, f ' x = - 2 x , então a = - 2 x 0 . E o b? Bom reta passa pelo ponto ( x 0 , y 0 ) com y 0 = f x 0 = 1 - x 0 2 , correto? Nesse caso, podemos substituir esse ponto na equação da reta e matar o b :

y = a x + b

1 - x 0 2 = - 2 x 0 x 0 + b

b = 1 + x 0 2

A reta, enfim, é dada por y = - 2 x 0 x + ( 1 + x 0 2 ) ! Tranquilo, mas como eu tiro dessa reta os valores de h e B ? Lembra que essas medidas são dadas quando a reta toca os eixos, ou seja, onde x = 0 e onde y = 0 , respectivamente!

x = 0 → y = 1 + x 0 2

L o g o ,         h = 1 + x 0 2

y = 0 → 0 = - 2 x 0 x + 1 + x 0 2

x = 1 + x 0 2 2 x 0

B = 1 + x 0 2 2 x 0

Então, vamos escrever nossa área em função do x 0 , x do ponto P :

A ( x 0 ) = 1 + x 0 2 2 x 0 1 + x 0 2 2 = 1 + x 0 2 2 4 x 0

Agora sim! Temos uma função de uma variável que podemos derivar e, dessa forma, minimizar.

A ' x 0 = 1 + x 0 2 2 ' 4 x 0 - 1 + x 0 2 2 4 x 0 ' 4 x 0 2 = 0

2 1 + x 0 2 2 x 0 4 x 0 - 1 + x 0 2 2 4 16 x 0 2 = 0

1 + x 0 2 - 1 + x 0 2 2 4 16 x 0 2 = 0

1 + x 0 2 2 4 16 x 0 2 = 1 + x 0 2

1 + x 0 2 4 = 16 x 0 2

1 + x 0 2 = 4 x 0 2

x 0 2 = 1 3

x 0 = 3 3

A outra coordenada, o y 0 , a gente acha pela função:

y 0 = 1 - 3 3 2 = 2 3

Assim, P = 3 3 , 2 3 !

Resposta

P = 3 3 , 2 3

Exercícios de Livros Relacionados

Estão dados os gráficos da função posição de dois corredores, A e B que correm 100 metros rasos e terminam empatados.Descreva e compare como os corredores correram a prova.Em que instante a distância
Se a meia-vida do rádio for de 1.690 anos, que porcentagem da quantidade presente agora restará após:a) 100 anos?
Nos exercícios de 40 a 45, uma partícula está se movendo ao longo de uma reta, de acordo com a equação de movimento dada, onde s cm é a distância orientada entre a partícula e a origem no instante t s
Encontre d 3 y d x 3 se y = 3 - 2 x .
Um objeto está escorregando por um plano inclinado de acordo com a equação s = 12 t 2 + 6 t , onde s m é a distância orientada do objeto até o topo do plano, após t s do início do movimento. (a) Ache