Exercícios Resolvidos de Otimização – Modelagem

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Enunciado

Encontre dois números positivos cujo produto seja 100 e cuja soma seja mínima.

Passo 1

Vamos chamar esses dois números de x e y .   De acordo com o enunciado,

x y = 100

O objetivo é minimizar a soma

x + y

Ou seja, minimizar a função

F x , y = x + y

Passo 2

Para isso, temos que escrever F em função de apenas uma variável. Como fazer isso? Usando a relação x y = 100 para isolar uma das variáveis.

y = 100 x

Agora substituímos isso na função.

F x = x + 100 x

Passo 3

Para minimizar F ( x ) primeiro temos que achar os pontos críticos, fazendo F ' x = 0 . Então vamos derivar a função:

F ' x = 1 - 100 x 2 = x 2 - 100 x 2

Agora dá pra fazer

F ' x = 0

x 2 - 100 x 2 = 0

x 2 = 100

x = ± 10

Como o enunciado disse que os dois números são positivos, o ponto x = - 10 pode ser desconsiderado.

Passo 4

x = 10 para descobrir se ele é mesmo um ponto de mínimo. Observe que o denominador   x 2 não influencia no sinal pois é sempre positive. Então basta analisar o sinal do numerador, que é a parábola x 2 - 100 cujo gráfico está representado pela figura abaixo:

Pelo gráfico, vemos que antes de x = 10 o sinal é negativo e depois de x = 10 ele fica positivo. Portanto x = 10 é um ponto de mínimo.

Passo 5

Por fim, já que temos o valor de x , podemos descobrir o valor de y .

10 y = 100

y = 10

Resposta

x = 1 0 e y = 10

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