Exercícios Resolvidos de Otimização – Modelagem

PUC-RJ - Cálculo 1 - P2 2012.1 - 3

Um triângulo retângulo, localizado no primeiro quadrante, tem um vértice na origem e seus outros dois vértices determinados pela interseção da reta tangente ao gráfico da função f x = e - x com os eixos coordenados (ver figura).

( a ) Determine a equação da reta tangente ao gráfico da f em x = a .

( b ) Determine as interseções da reta r com o eixo x e com o eixo y .

( c ) Determine o valor de a de forma que a área do triângulo seja máxima, considerando somente os triângulos formados no 1 º quadrante.

Passo 1

( a ) Vamos modelar uma reta y = m x + n , (não usei y = a x + b para não confundir com o x = a ). Sabemos que seu coeficiente angular m é igual a f ' x = - e - x em x = a .

m = - e - a = - 1 e a

Sabemos ainda, porém, que a função da reta passa pelo ponto x , f x = ( x , e - x ) quando x = a , ou seja, passa pelo ponto ( a , e - a ) . Assim descobrimos o n :

y = m x + n

e - a = - e - a a + n

e - a ( a + 1 )

Enfim, concluímos a nossa reta:

y = e - a - x + a + 1

y = a + 1 - x e a

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Passo 2

( b ) Suas interseções com os eixos y e x acontecem em x = 0 e y = 0 respectivamente:

y = a + 1 - 0 e a → y = a + 1 e a

0 = a + 1 - x e a → x = a + 1

Passo 3

( c ) Pela figura inicial percebemos que o triângulo tem como dimensões de altura e base as interseções com os eixos y e x , respectivamente. Logo, sua área será:

A = b . h 2

A = a + 1 e a a + 1 2 = a + 1 2 2 e a

Para achar a área máxima devemos derivar a função em relação a a e igualar a expressão a 0 . Ela vai sempre existir, pois a o denominador é sempre maior que zero.

A ' a = a + 1 2 ' 2 e a - a + 1 2 2 e a ' 2 e a 2

= 2 a + 1 2 e a - a 2 + 2 a + 1 2 e a 2 e a 2

= 1 - a 2 2 e a = 0

a = ± 1

Como o triângulo deve ser formado no primeiro quadrante, a = 1 é o único valor que nos serve. A gente observa que lim x → 0 ⁡ A ( a ) = 1 2 lim x → ∞ ⁡ A ( a ) = 0 e A 1 = 2 e > 1 2 > 0 , o que garante que x = a é ponto de máximo e não mínimo, dado que a = 1 é o único máximo em ] 0 , + ∞ [ .

Resposta

a   y = a + 1 - x e a

b   y = a + 1 e a ;   x = a + 1

c   a = 1

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