Exercícios Resolvidos de Otimização – Modelagem

Ver Teoria

Enunciado

Determine as dimensões do retângulo com lados paralelos aos eixos coordenados que tenha área máxima, sabendo que o retângulo está inscrito na região limitada pelas parábolas y = x ² e y = 8 - x ²

Passo 1

Entender o problema

Se você sentiu cheiro de questão de otimização quando leu esse enunciado, sentiu certo! A questão pode até parecer confusa, mas se a gente der uma esboçada nos gráficos das cruvas, fica tranquilo de entendermos. Da uma olhada:

O que a questão pede é para maximizarmos a área desse retângulo BEDC e acharmos as dimensões do retângulo pra essa área! Pra fazer isso, precisamos primeiro de um jeito de escrever:

A = A x

Show de bola, sabendo como a área varia com x , achar a maior área vai ser mel na chupeta: basta derivar e igualar a 0 ! Pra que sinais de negativo não nos enrolem, vamos resolver o problema dessa forma aqui:

Essa área vai ser então metade da área do retângulo original. Chamando essa área de a x , vamos ter que:

A x = 2 a x

E como é a área de um retângulo, o pulo do gato pra resolver essa questão vai ser encontrar como a altura varia com x , isto é, h x e como a base varia com x , isto é, b x . Isso porque a área de um retângulo é o produto da altura pela base. Sendo assim:

A x = 2 b x h x

Passo 2

Encontrar a expressão de b x e h x

Pra sabermos a expressão de A x temos que encontrar esses dois primeiro, não é mesmo? Então vamos lá! Começando pra base:

Opa, se quando x = 1 a base tem tamanho 1 e quando x = 1,5 a base tem tamanho 1,5 então a base vai ter a expressão:

b x = x

Agora, sobre a altura:

Quando x = 1 , a altura é igual a 6 . E da uma olhada no gráfico: o que é isso se não l 1 - f 1 ? Portanto, a altura do retângulo vai ser:

h x = l x - f x

h x = - x 2 + 8 - x 2

h x = - 2 x 2 + 8

Passo 3

Encontrar a expressão de A x

Agora temos tudo pra saber como a área do retângulo varia com x . Partiu então:

A x = 2 b x h x

b x = x

h x = - 2 x 2 + 8

Logo:

A x = 2 x - 2 x 2 + 8

A x = - 4 x 3 + 16 x

Passo 4

Otimizando o valor da área

Opa, agora pra achar o valor de x que maximiza a área, basta achar o x que satisfaz A ' x = 0 . Vamo que vamo:

A x = - 4 x 3 + 16 x

A ' x = - 12 x 2 + 16 = 0

x 2 = 16 12

x = ± 2 3

Mas como dividimos o problema pela metade pra não precisarmos nos preocupar com valor negativos, vamos usar

x = 2 3

Pra esse valor então a altura vai ser:

h 2 3 = - 2 2 3 2 + 8 = 16 3

E a base do retângulo original vai ser:

2 b 2 3 = 4 3

A área pra esse x então vai ficar:

A 2 3 = 2 b 2 3 h 2 3

A = 64 3 3   ≅ 12,32

Agora pra fechar com chave de ouro, vamos ver uma comprovação gráfica.

Resposta

h = 16 3

b = 4 3

Exercícios de Livros Relacionados

Estão dados os gráficos da função posição de dois corredores, A e B que correm 100 metros rasos e terminam empatados.Descreva e compare como os corredores correram a prova.Em que instante a distância
Se a meia-vida do rádio for de 1.690 anos, que porcentagem da quantidade presente agora restará após:a) 100 anos?
Nos exercícios de 40 a 45, uma partícula está se movendo ao longo de uma reta, de acordo com a equação de movimento dada, onde s cm é a distância orientada entre a partícula e a origem no instante t s
Encontre d 3 y d x 3 se y = 3 - 2 x .
Um objeto está escorregando por um plano inclinado de acordo com a equação s = 12 t 2 + 6 t , onde s m é a distância orientada do objeto até o topo do plano, após t s do início do movimento. (a) Ache