Exercícios Resolvidos de Otimização – Modelagem

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Enunciado

Determine as dimensões do retângulo inscrito no semicírculo de raio 1 e que tem o maior perímetro. Justifique sua resposta.

Passo 1

Entender o problema

Se você sentiu cheiro de questão de otimização quando leu esse enunciado, sentiu certo! A questão pode até parecer confusa, mas se a gente der uma esboçada nos gráficos das cruvas, fica tranquilo de entendermos. Da uma olhada:

O que a questão pede é para maximizarmos o perímetro desse retângulo A B C D e acharmos as dimensões do retângulo pra essa área! Pra fazer isso, precisamos primeiro de um jeito de escrever:

P = P x

Show de bola, sabendo como o perímetro varia com x , achar o maior perímetro vai ser mel na chupeta: basta derivar e igualar a 0 ! Pra que sinais de negativo não nos enrolem, vamos resolver o problema dessa forma aqui:

Esse perímetro vai ser então metade do perímetro do retângulo original, se descontarmos o lado esquerdo desse retângulo. Chamando esse perímetro de p x , vamos ter que:

P x = 2 p x

E como com oestamos falando do perímetro de um retângulo, o pulo do gato pra resolver essa questão vai ser encontrar como a altura varia com x , isto é, h x e como a base varia com x , isto é, b x . Isso porque o perímetro (de novo pra não esquecer: descontando o lado esquerdo) de um retângulo é a soma dos lados. Sendo assim:

P x = 2 2 b x + h x

Passo 2

Encontrar a expressão de b x e h x

Pra sabermos a expressão de P x temos que encontrar esses dois primeiro, não é mesmo? Então vamos lá! Começando pra base:

Opa, se quando x = 0,6 a base tem tamanho 0,6 e quando x = 0,87 a base tem tamanho 0,87 então a base vai ter a expressão:

b x = x

Agora, sobre a altura:

Quando x = 0,6 , a altura é igual a 0,8 . E da uma olhada no gráfico: o que é isso se não y 0,6 = 1 - 0,6 2 = 0,8 ? A expressão de y x a gente tira de:

x 2 + y 2 = 1

y 2 = 1 - x 2

y = ± 1 - x 2

Mas como estamos considerando só a parte de cima do círculo, tiramos o sinal de degativo e ficamos com:

y x = 1 - x 2

Portanto, a altura do retângulo vai ser a própria y x

h x = y x = 1 - x 2

Passo 3

Encontrar a expressão de P x

Agora temos tudo pra saber como a área do retângulo varia com x . Partiu então:

P x = 2 2 b x + h x

b x = x

h x = 1 - x 2

Logo:

P x = 4 x + 2 1 - x 2

Passo 4

Otimizando o valor do perímetro

Opa, agora pra achar o valor de x que maximiza o perímetro, basta achar o x que satisfaz P ' x = 0 . Vamo que vamo:

P x = 4 x + 2 1 - x 2

P ' x = 4 - 2 x 1 - x 2 = 0

x 1 - x 2 = 2

x 2 1 - x 2 = 4

5 x 2 = 4

x = ± 2 5 =   ± 2 5 5

Mas como dividimos o problema pela metade pra não precisarmos nos preocupar com valor negativos, vamos usar

x = 2 5

Pra esse valor então a altura vai ser:

h 2 5 = 1 - 2 5 2 + 8 = 1 5

E a base do retângulo original vai ser:

2 . b 2 5 = 4 5

O perímetro máximo vai ser então:

P 2 5 = 4 2 5 + 2 1 - 2 5 2

P 2 5 = 8 5 + 2 5

P = 2 5   ≅ 4,47

Resposta

h = 1 5

b = 4 5

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