Exercícios Resolvidos de Otimização – Modelagem

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Enunciado

Se um objeto dista x unidades de um foco de intensidade luminosa constante I , a luminosidade do objeto é igual a I / x 2 . Dois focos, F 1 e F 2 com intensidades I 1 e I 2 , respectivamente, encontram-se separados por d unidades. Em que ponto do segmento de reta liga F 1 a F 2 , a luminosidade é mínima? Qual deve ser a razão entre I 1 e I 2 para que o ponto de luminosidade mínima entre os dois focos esteja a uma distância de d / 3 unidades da fonte de luminosidade I 1 ?

Passo 1

Bom, se imaginarmos que a intensidade luminosa num ponto é igual a soma de toda intensidade incidente nela teremos que a intensidade num ponto qualquer entre F 1 será:

I = I F 1 + I F 2

Esquematizando a figura, teríamos algo assim:

Onde, pelo enunciado:

I F 1 = I 1 x 2

I F 2 = I 2 d - x 2

Assim, a intensidade num ponto qualquer da reta que une as duas fontes será:

I x = I 1 x 2 + I 2 d - x 2

Para minimizarmos essa função devemos derivá-la e igualar a 0 .

Passo 2

I ' x = ( - 2 ) I 1 x 3 + - 2 I 2 d - x 3 - 1 = 0

I 1 x 3 = I 2 d - x 3

I 1 I 2 = x 3 d - x 3

I 1 I 2 3 = x d - x

d I 1 I 2 3 - I 1 I 2 3 x = x

x 1 + I 1 I 2 3 = d I 1 I 2 3

x = d I 1 I 2 3 1 + I 1 I 2 3

Esse é o x onde a intensidade é mínima. Para provar que ele é realmente de mínimo e não máximo basta analisar que nas proximidades das lâmpadas a intensidade tende a + ∞ .

Passo 3

Quanto a segunda pergunta, basta igualar esse x achado a x = d 3 e achar a relação entre I 1 e I 2 que é gerada:

d I 1 I 2 3 1 + I 1 I 2 3 = d 3

1 + I 1 I 2 3 = 3 I 1 I 2 3

2 I 1 I 2 3 = 1

I 1 I 2 3 3 = 1 2 3

I 1 I 2 = 1 8

Resposta

x = d I 1 I 2 3 1 + I 1 I 2 3

I 1 I 2 = 1 8

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