Exercícios Resolvidos de Otimização – Modelagem

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Enunciado

Encontre a área do maior retângulo que pode ser inscrito dentro da região delimitada pela parábola y = 4 - x 2 e pelo eixo x , fronteira incluída.

Passo 1

Entender o problema

Se você sentiu cheiro de questão de otimização quando leu esse enunciado, sentiu certo! A questão pode até parecer confusa, mas se a gente der uma esboçada no gráfico da curva, fica tranquilo de entendermos. Da uma olhada:

O que a questão pede é para maximizarmos a área desse retângulo ABCD. Pra fazer isso, precisamos primeiro de um jeito de escrever:

A = A x

Show de bola, sabendo como a área varia com x , achar a maior área vai ser mel na chupeta: basta derivar e igualar a 0 ! Pra que sinais de negativo não nos enrolem, vamos resolver o problema dessa forma aqui:

Essa área vai ser então metade da área do retângulo original. Chamando essa área de a x , vamos ter que:

A x = 2 a x

E como é a área de um retângulo, o pulo do gato pra resolver essa questão vai ser encontrar como a altura varia com x , isto é, h x e como a base varia com x , isto é, b x . Isso porque a área de um retângulo é o produto da altura pela base. Sendo assim:

A x = 2 b x h x

Passo 2

Encontrar a expressão de b x e h x

Pra sabermos a expressão de A x temos que encontrar esses dois primeiro, não é mesmo? Então vamos lá! Começando pra base:

Opa, se quando x = 1 a base tem tamanho 1 e quando x = 0 , 5 a base tem tamanho 0 , 5 então a base vai ter a expressão:

b x = x

Agora, sobre a altura:

Quando x = 1 , a altura é igual a 3 . E da uma olhada no gráfico: o que é isso se não f 1 ? Portanto, a altura do retângulo vai ser:

h x = f x

h x = 4 - x 2

Passo 3

Encontrar a expressão de A x

Agora temos tudo pra saber como a área do retângulo varia com x . Partiu então:

A x = 2 b x h x

b x = x

h x = 4 - x 2

Logo:

A x = 8 x - 2 x 3

Passo 4

Otimizando o valor da área

Opa, agora pra achar o valor de x que maximiza a área, basta achar o x que satisfaz A ' x = 0 . Vamo que vamo:

A x = 8 x - 2 x 3

A ' x = 8 - 6 x 2 = 0

x 2 = 4 3

x = ± 2 3

Mas como dividimos o problema pela metade pra não precisarmos nos preocupar com valor negativos, vamos usar

x = 2 3

A área pra esse x então vai ficar:

A 2 3 = 8 2 3 - 2 2 3 3

A m a x = 32 3 3   ≅ 6,16

Resposta

A m a x = 32 3 3   ≅ 6,16

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