Exercícios Resolvidos de Otimização – Modelagem

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Enunciado

Uma janela normanda tem o formato de justaposição de um semicírculo sobre um retângulo. Suponha que o perímetro da janela normanda é de 7   m .

a) Determine a área da janela como função da altura do retângulo correspondente.

b) Ache as dimensões da janela com maior área possível, assim como a área desta janela (aplique os conceitos do cálculo diferencial).

Passo 1

Fala galerinha, beleza? Bora brincar um pouco com problema de otimização!

O primeiro passo desse problema é desenhar a janela normanda com retângulo de base y e altura x :

O raio do semicírculo é r = y / 2 . A área da janela é dada por

A = x y + π y 2 2 2

Queremos escrever essa área apenas como função de x (altura). Para isso, escrevemos que o perímetro dela é

P = x + y + x + 2 π r 2 = 2 x + y + π r

Como r = y / 2 , temos que

P = 2 x + y + π y 2 = 4 x + 2 + π y 2

Igualando o perímetro a 7   m :

4 x + 2 + π y 2 = 7 → 4 x + 2 + π y = 14

Logo,

y = 14 - 4 x 2 + π

Daí, basta substituir na expressão da área:

A = x ⋅ 14 - 4 x 2 + π + π 8 ⋅ 14 - 4 x 2 + π 2

Passo 2

Vamos brincar um pouco com essa expressão:

A = 8 2 + π ⋅ x ⋅ 14 - 4 x + π 14 - 4 x 2 8 2 + π 2

A = 16 + 8 π 14 x - 4 x 2 + π 196 - 112 x + 16 x 2 8 2 + π 2

Fazendo as distributivas:

A = 224 x - 64 x 2 + 112 π x - 32 π x 2 + 196 π - 112 π x + 16 π x 2 8 2 + π 2

Portanto,

A = 196 π + 224 x - 16 4 + π x 2 8 2 + π 2

A expressão é um pouquinho feia, mas é isso ai 😉!

Passo 3

Repare que se trata de uma função de segundo grau com concavidade para baixo (triste). Logo, essa função tem um máximo que ocorre no vértice da parábola. Derivando com relação a x :

A ' x = 1 8 2 + π 2 ⋅ 224 - 32 4 + π x

Fazendo A ' x = 0 :

32 4 + π x = 224 → x = 7 4 + π

Para achar o valor de y :

y = 14 - 4 x 2 + π = 14 - 4 ⋅ 7 4 + π 2 + π

Logo,

y = 56 + 14 π - 28 2 + π 4 + π = 14 2 + π 2 + π 4 + π

Ou ainda,

y = 14 4 + π

Portanto, as dimensões que maximizam a área da janela são

x = 7 4 + π   m             e           y = 14 4 + π   m

Resposta

A = 196 π + 224 x - 16 4 - π x 2 8 2 + π 2

x = 7 4 + π   m             e           y = 14 4 + π   m

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