Exercícios Resolvidos de Otimização – Modelagem

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Enunciado

3) Na figura, as semirretas r 1 e r 2 são paralelas e o segmento A B é perpendicular a essas semirretas. O ponto P , situado no segmento A B , é tal que: A P - = 1 e B P - = 2 . Considere a coleção de todos os triângulos retângulos P P 1 P 2 , com ângulo reto em P , tais que P 1 está sobre a semirreta r 1 e P 2 está sobre a semirreta r 2 .

Determine a menor área possível para um triângulo dessa coleção:

Passo 1

Antes de começarmos essa questão, vamos traduzir pra desenhês o que esse enunciado quis dizer. Mantendo P paradinho onde ele tá, vamos mover P 1 e P 2 de forma a criar novos triângulos retângulos. Olha um exemplo de movimento desses pontos:

Agora que entendemos melhor o que acontece, vamos começar a relacionar variáveis, ok?

Passo 2

Vamos dar nome aos bois primeiro:

Como a área do triângulo verde é dada por:

A = b h 2

Vamos tentar relacionar variáveis pra obter A como função de uma variável só. Pra começo de conversa, vamos chamar:

A P 1 - = x

Sendo o triângulo A P P 1 retângulo, pelo teorema de Pitágoras:

1 2 + x 2 = h 2

Então olha só! Já achamos uma expressão pra h . Fazendo a raiz dos dois lados, temos:

h = x 2 + 1

Vamos tentar então achar uma expressão em função de x para b , que aí sim podemos escrever A = A x e finalizar a função que otimizaremos: a área. Pra isso, dá uma olhada nessas relações entre os ângulos marcados:

β 1 + β 2 + 90 º = 180 º

β 1 + α 1 + 90 º = 180 º

β 2 + α 2 + 90 º = 180 º

Passando 90 º   pro outro lado:

β 1 + β 2 = 90 º   1

β 1 + α 1 = 90 º   2

β 2 + α 2 = 90 º   3

Fazendo 1 - 2 , temos:

β 1 + β 2 - β 1 - α 1 = 0

β 2 = α 1   4

E fazendo 1 - 3 , temos:

β 1 + β 2 - β 2 - α 2 = 0

β 1 = α 2   5

Ou seja, do resultado 4 e 5 podemos ver que os triângulos B P P 2 e A P P 1 são semelhantes! E por semelhança de triângulos, podemos fazer:

A P 1 - 2 = 1 B P 2 -

O que vai dar:

x 2 = 1 B P 2 -

B P 2 - = 2 x

E do teorema de Pitágoras para o triângulo B P P 2 , temos:

B P 2 - 2 + 2 2 = b 2

2 x 2 + 2 2 = b 2

4 1 x 2 + 1 = b 2

Show de bola, fechamos então a expressão de b x , vamos ter:

b x = 2 1 x 2 + 1

E agora terminamos de modelar a expressão da área! Juntando tudo que achamos temos:

A = b h 2 =

A = x 2 + 1 1 x 2 + 1  

O que, simplificando, fica:

A = x 2 + x - 2 + 2  

Passo 3

Agora que temos A x , precisamos otimizar. Como queremos a menor área, temos que achar um ponto de mínimo. Oras, é só derivar e igualar à 0 então pra gente buscar os pontos críticos dessa função! Vamos ter:

A ' x = x 2 + x - 2 + 2 '

A ' x = 1 2 x 2 + x - 2 + 2 x 2 + x - 2 + 2 '

A ' x = 1 2 x 2 + x - 2 + 2 2 x - 2 x - 3

A ' x = x - x - 3 x 2 + x - 2 + 2

E igualando à 0 , temos:

x - x - 3 = 0

x = x - 3

x = 1 x 3

x 4 = 1

x = ± 1

Como   A P 1 - = x e como não existe segmentos de reta de tamanho negativo, o único ponto crítico de A x vai ser:

x = 1

Mas será que esse ponto é de mínimo mesmo? Bem, pra gente saber, tem duas formas: a com contas e a argumentativa. Pra poupar trabalho, podemos ver que, para os limites:

x → 0

x → ∞

A área tende ao infinito por que hora b e hora h tenderão ao infinito nesses limites, e logo, também irá A . Podemos ver isso nessas duas figuras:

Passo 4

Agora que achamos o ponto de mínimo, basta substituir seu valor na fórmula da área! Vamos ter:

A x = x 2 + x - 2 + 2  

A 1 = 1 2 + 1 - 2 + 2  

A 1 = 4  

A 1 = 2  

Resposta

A 1 = 2  

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