Exercícios Resolvidos de Otimização – Modelagem

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Enunciado

Considere os cones circulares retos inscritos numa esfera de raio 6 cujas alturas variam no intervalo 6,10 . Entre esses cones, sejam C 1 o de maior volume e C 2 o de menor volume. Então a razão entre o volume de C 1 e o volume de C 2 é

  1. 27 25
  2. 32 27
  3. 32 25
  4. 9 8
  5. 256 243

Passo 1

Essa questão assusta um pouco porque tem que achar volume máximo e mínimo, mas fica tranquilo porque iremos tirar de letra. Pra começar, como queremos otimizar o volume de um cone circular reto, porque não enunciar a fórmula desse volume?

V = 1 3 π r 2 h

E porque não também um desenho pra ajudar a gente a visualizar o problema?

Bem, pra otimizar mesmo mesmo não dá ainda, porque temos duas variáveis, a altura do cone h e o raio do cone r . Então o próximo passo é relacionar as variáveis!

Passo 2

Veja bem, a questão tá dando a dica pra gente de qual variável relacionar com qual! Se a altura é dada como variável entre 6 e 10 , então facilita muito nossa vida se escrevermos:

r = r h

Partiu então! Pra isso, dá uma olhada nesse pedaço da figura:

Por Pitágoras, tiramos:

r 2 + h ' 2 = 6 2

r 2 + h ' 2 = 36

Ai você vai me perguntar: ué, mas quem é esse h ' ? Relaxaaa gafanhoto, ele tá aí só como recurso, pra gente não partir direto pra fórmula final. Se você olhar bem pro triângulo acima, vai ver que h ' é um pedaço da altura h ! De forma que:

...o resto da altura é exatamente o raio da esfera! E logo:

h ' + 6 = h

h ' = h - 6

Agora substituindo e abrindo:

r 2 + h - 6 2 = 36

r 2 + h 2 - 12 h + 36 = 36

r 2 = 12 h - h 2

E taí! Escrevemos r = r h . Como a fórmula do volume é:

V = 1 3 π r 2 h

Em função de h , temos:

V h = 1 3 π 12 h - h 2 h

V h = 1 3 π 12 h 2 - h 3

Passo 3

Show de bola! Agora vamos falar do comportamento de V h . Pra começar, vamos ver se possui pontos de mínimo ou de máximo checando a existência de pontos críticos. Tem jeito não galera, vamos ter que derivar!

V ' h = 1 3 π 12 h 2 - h 3 '

V ' h = 1 3 π 24 h - 3 h 2

Igualando a zero:

1 3 π 24 h - 3 h 2 = 0

24 h - 3 h 2 = 0

3 h 8 - h = 0

Ou seja, ou h = 0 ou h = 8 . O primeiro ponto crítico a gente nem vai checar porque tá fora do intervalo, mas o segundo nós vamos em! Então pra achar o maior e menor volume no intervalo basta a gente ver os volumes nos extremos e no ponto crítico! Vamos ter:

V 6 = 1 3 π 12 . 6 2 - 6 3 = 1 3 π 432 - 216 = 1 3 π ∙   216

V 8 = 1 3 π 12 . 8 2 - 8 3 = 1 3 π 768 - 512 = 1 3 π ∙   25 6

V 10 = 1 3 π 12 . 10 2 - 10 3 = 1 3 π 1200 - 1000 = 1 3 π ∙   200

O maior e menor volume, respectivamente, serão:

C 1 = V 8 = 1 3 π ∙   256

C 2 = V 10 = 1 3 π ∙   200

E logo a razão C 1 / C 2 será:

C 1 C 2 = 1 3 π ∙   256 1 3 π ∙   200 = 256 200 = 32 25

A resposta certa é a letra C !

Resposta

L e t r a   C

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