Exercícios Resolvidos de Otimização – Modelagem

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Enunciado

Considere a região R = x , y   : 0 ≤ y ≤ 4 cos ⁡ x   ;   - π 2 ≤ x ≤ π 2 . Determine as dimensões do retângulo de maior perímetro possível que pode ser inscrito em R .

Passo 1

Opa, vamos lá. Antes da gente mergulhar na questão vamos visualizar direitinho o que tá sendo pedido: um perímetro. E o maior possível. Então temos aí uma questão de otimização! E em questões de otimização a gente precisa achar uma função a ser otimizada e uma relação entre as variáveis! Seja:

O perímetro pode ser calculado como:

P = 4 a + 2 b

E se a gente quiser só trabalhar com valores positivos pra não enrolar a cabeça, podemos fazer:

p = 2 a + b

P = 2 p

Maravilha! Falta agora relacionar a e b pra que p seja uma função de uma variável só. Então partiu!

Passo 2

Vamos começar olhando o pro a . Veja bem, quando queremos, por exemplo, que a seja igual à 1 , temos x = 1 , e quando queremos que a seja igual à, por exemplo, 1 2 , temos que x = 1 2 :

Opa, então quer dizer que a = x ? É isso aí! Vamos ter então que:

a = a x = x

E saca só: se a é uma função de x , então b também vai ter que ser! Dessa forma o semiperímetro vai ser também. Beleza, dá uma olhada então na altura b : ela sempre parte do eixo x e termina na curva f x = 4 cos ⁡ x ! Opa, então b = b x vai ser exatamente a curva!

b = b x = 4 cos ⁡ x

Juntando à fórmula do semiperímetro:

p = 2 a + b

p x = 2 x +   4 cos ⁡ x

E como:

P = 2 p

O perímetro vai ser:

P x = 4 x + 8 cos ⁡ x

Passo 3

Agora que temos a função perímetro, borá otimizar ela! Pra otimizar, primeiro temos que achar os pontos críticos, não é? Então borá calcular a primeira derivada:

P ' x = 4 x + 8 cos ⁡ x '  

P ' x = 4 - 8 sin ⁡ x

Igualando a primeira derivada à 0 , vamos ter:

4 - 8 sin ⁡ x = 0

8 sin ⁡ x = 4

sin ⁡ x = 4 8 = 1 2

x = arcsin ⁡ 1 2 = π 6

Mas agora, será que esse é mesmo um ponto de máximo? Pra isso vamos checar o sinal da derivada antes e depois do ponto crítico. Analisando antes, com x = π 12 , por exemplo, temos:

P ' π 12 = 4 - 8 sin ⁡ π 12 = 1,93 > 0

E analisando depois, temos, pra x = π 3 por exemplo:

P ' π 3 = 4 - 8 sin ⁡ π 3 = - 2,93 < 0

Se antes a inclinação da reta tangente, expressa por P ' x , era positiva e depois negativa, então x = π 6 é sim um ponto de máximo! Como:

a = a x = x

b = b x = 4 cos ⁡ x

Pra gente achar as dimensões é só a gente aplicar o ponto crítico!

a π 6 = π 6

b π 6 = 4 cos ⁡ π 6 = 4 3 2 = 2 3

Mas como a é só metade da base do retângulo, as dimensões do retângulo de maior perímetro vão ser:

B a s e = 2 π 6 = π 3  

A l t u r a = 2 3  

Resposta

B a s e = π 3  

A l t u r a = 2 3  

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