Exercícios Resolvidos de Otimização – Modelagem

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Enunciado

Um cilindro circular reto fechado de altura   h   c m e raio das bases   r   c m tem área total igual a S   =   ( 2 π r 2   +   2 π r h )   c m 2 e volume V   =   π r 2 h   c m 3 . DENTRE TODOS OS CILINDROS DE VOLUME V   =   250 π   c m 3 , obtenha as dimensões ( r   e   h ) daquele que tem a menor área total possível.

Passo 1

Fala galera, tudo beleza? Vamos para mais uma questão de cálculo 1. Essa é bem clássica, pois é uma de otimização.

Nosso objetivo é descobrir qual é a altura   h   c m e raio das bases   r   c m do cilindro de menor área que tem volume igual a V   =   250 π   c m 3 . E aí como fazemos isso? Alguma idéia? Bem primeiro, vamos escrever a equação da área de um cilindro. Felizmente o enunciado já diz qual é essa equação, temos que

S   =   ( 2 π r 2   +   2 π r h )   c m 2

Mas não sabemos como otimizar essa função, pois ela tem duas variáveis. Então o que podemos fazer? Ora, temos uma restrição no volume do cilindro. O enunciado diz que tem que ser V   =   250 π   c m 3 . Mas o volume de um cilindro é fácil de calcular, é dado pela fórmula

V = π r 2 h

Ou seja, podemos obter uma relação entre r e h . Então temos:

250 π = π r 2 h

⇒ h = 250 / r 2

Podemos substituir esse valor na equação da área, então temos:

S   =   ( 2 π r 2   +   2 π r h )   c m 2

Substituindo h = 250 / r 2

⇒ S   =   ( 2 π r 2   +   500 π / r )   c m 2

Agora temos como otimizar em relação a r

Passo 2

Chegamos a conclusão que a nossa função de área do cilindro levando em consideração a restrição de volume é dada por

S   =   ( 2 π r 2   +   500 π / r )   c m 2

Agora podemos minimizar essa função. E como fazemos isso? Deriva e iguala a zero! Então temos

d d r S = d d r   ( 2 π r 2   +   500 π / r )  

Pela linearidade da derivada

= 4 π r -   500 π / r 2

Quando essa derivada é igual a zero?

4 π r -   500 π / r 2 = 0

⇒ 4 π r 3 = 500 π

⇒ r 3 = 125

⇒ r = 5

Ou seja, se r   = 5 é ponto crítico. Para ser ponto de mínimo basta verificarmos a segunda derivada.

d 2 d r 2 S = d d r ( 4 π r -   500 π / r 2 )

= 4 π   +   1000 π / r 3

> 0 ,   p o i s   r > 0

Ou seja, a segunda derivada é sempre positiva, logo temos uma função de côncava para cima. Então o ponto crítico é um ponto de mínimo!

Isto é r   = 5 minimiza a área do cilindro. E como

h = 250 / r 2

⇒ h = 250 / 25

= 10

Logo os r   e   h que minimizam a área do cilindro são r = 5 ,   h = 10

Prontinho pessoal!! Finalizamos mais uma questão. Espero que os passos tenham ficado claros. Até a próxima questão e bons estudos!!!! 😊

Resposta

Desenvolvimento acima

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