Exercícios Resolvidos de Otimização – Modelagem

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Enunciado

3) Um retângulo tem os dos vértices inferiores sobre o eixo O x e os dois vértices superiores pertencentes à curva y = 15 - x 2 . Dentre todos os retângulos nestas condições, quais as dimensões daquele que tem a maior área? Justifique sua resposta!

Passo 1

Olha só galera, pra entender direitinho essa questão, um bom primeiro passo é fazer um esboço rápido desse retângulo e dessa curva. Como a curva é uma parábola com o termo multiplicativo de x 2 negativo, vamos ter um caso como esse aqui:

Como queremos otimizar a área, achando a maior possível, temos que primeiro montar a equação da área. Show! Pra gente não se enrolar com números negativos, recomendo olhar somente pra esse lado:

Opa, dessa forma fica tranquilo de entender que a área vai ser:

A = 2 a b

Uma vez que a figura acima é só metade da área do retângulo original. Pra otimizar, no entanto, vai faltar pra gente relacionar as variáveis a , b , pra que A seja uma função de uma variável só.

Passo 2

Pra relacionar as variáveis direitinho, olha de novo pra essa figura:

Pô, se eu escolho um valor qualquer de b , o meu a vai sair sempre do eixo O x , em uma altura x = b , e tocar a curva! Dessa forma, temos que:

a = a x = y = y x

a = 15 - x 2

b = b x = x

E pronto! Ta montada a fórmula da área! Se a = a x e b = b x , então A = A x e tem a expressão:

A x = 2 x 15 - x 2

A x = 30 x - 2 x 3

Passo 3

Agora pra fechar, vamos lembrar que, como toda boa otimização, pra gente achar o ponto de máximo, precisamos derivar e igualar a zero! Sendo assim:

A ' x = 30 x - 2 x 3 ' = 0

A ' x = 30 - 6 x 2 = 0

6 x 2 = 30

x 2 = 5

x = ± 5

Como b = x é uma unidade física de meio valor de base, o valor negativo não rola, não é mesmo? Então o valor de x que otimiza essa função é:

x = 5

Antes da gente enunciar as dimensões, vamos checar se esse ponto é de máximo mesmo, testando o sinal da primeira derivada em pontos antes e depois. Podemos por exemplo, usar x = 1 e x = 3 :

A ' 1 = 30 - 6 = 24 > 0

A ' 3 = 30 - 54 = - 24 < 0

Se antes a função era decrescente (porque tem primeira derivada positiva) e depois passou a ser decrescente (porque tem a primeira derivada negativa) então tá certíssimo! x = 5 é de fato um ponto de máximo. E como as dimensões do retângulo são:

A l t u r a = a = y = 15 - x 2

B a s e = 2 b = 2 x

O retângulo de maior área será:

A l t u r a = 10

B a s e = 2 5

Resposta

A l t u r a = 10

B a s e = 2 5

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