Exercícios Resolvidos de Otimização – Modelagem

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Enunciado

Um contêiner retangular sem tampa para estocagem deve ter volume de 42 m ³ . O comprimento de sua base é o dobro de sua largura. O material para a base custa R $ 14,00 / m ² e o material para as laterais custa R $ 12,00 / m ² . Encontre o custo dos materiais para o barato desses contêiners. Não esqueça de verificar que de fato esse é o mais barato dos contêiners!

Passo 1

Desenhar e entender o problema

Show de bola, vamos lá! Pra começar, vamos desenhar esse contêiner:

Tem que desenhar assim mesmo na prova se não o professor não entende. Finge que esse contêiner está aberto, ok? Pois bem, o enunciado diz que comprimento de sua base é o dobro de sua largura. Sendo assim, temos:

O enunciado também nos dá o volume. Como

V = A h = 42

Vamos ter:

V = 2 x x h = 42

h = 21 x 2

Opa, sabemos agora como cada um dos comprimentos varia com x . Guarda isso porque vamos precisar

Passo 2

Calcular o preço de cada face

O pulo do gato pra entender isso aqui é ver a unidade de medida: o preço é dado por área! Sendo assim, a soma das áreas vai ser:

A t o t a l = 2 x h + 2 2 x h + 2 x 2

Onde os dois primeiros são termos referentes as 4 laterais e o último a base. Sendo o preço da base diferente do preço das laterais, gente consegue mole o preço total multiplicando a área pelos preços individuais. Sendo assim:

P t o t a l = 12.2 x h + 12.2 2 x h + 14 2 x 2

P t o t a l = 24 x h + 48 x h + 28 x 2

P t o t a l = 72 x h + 28 x 2

Mas como:

h = 21 x 2

O preço total, em função de x , vai ser:

P t o t a l x = 72 x 21 x 2 + 28 x 2

P t o t a l x = 1512 x + 28 x 2

Passo 3

Otimizar o preço total

Como ninguém gosta de gastar a toa, a ideia agora vai ser otimizar esse preço. Ou seja, achar o valor de x que minimiza o preço total. E o que é isso se não o clássico “deriva e iguala a 0 ” ? Partiu então:

P t o t a l ' x = 1512 x + 28 x 2 = 0

P t o t a l ' x = 56 x - 1512 x 2 = 0

Ou seja, basta a gente resolver:

56 x = 1512 x 2

56 x 3 = 1512

x 3 = 27

x = 3

Então o menor preço vai acontecer quando x = 3 . Em reais, vamos ter:

P t o t a l 3 = 1512 3 + 28 . 3 2

P t o t a l 3 = 504 + 2 52

P t o t a l 3 = R $ 756,00

E só pra fechar com chave de ouro e ficar bonitinho, dá uma olhada no gráfico de P t o t a l x :

Resposta

R $ 756,00

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