Exercícios Resolvidos de Otimização – Modelagem

PUC-RJ - Cálculo 1 - P2 2010.2 – 3

Dentre os retângulos limitados pelo eixo x , pelo eixo y e pelo gráfico de f : 0,1 R definida por f x = x - 1 2 (conforme a figura), determine as dimensões do retângulo de área máxima.

Passo 1

Bom, a área desse retângulo é dada pela base vezes a altura. No caso, a base é a distância horizontal entre o ponto do gráfico e o eixo y , que acaba sendo x mesmo. Já a altura é dada por f x , o que nos faz concluir que a área A é dada por:

A = x . f x

A = x x - 1 2 = x x 2 - 2 x + 1

A = x 3 - 2 x 2 + x

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Passo 2

Para otimizá-la vamos derivar a área em função de x e igualar o termo a 0 . Como é um polinômio, ela vai sempre existir.

A ' x = 3 x 2 - 4 x + 1 = 0

Por Bhaskara, temos que as raízes serão:

x = - - 4 ± 16 - 12 2 3

= 4 ± 4 6

= 2 ± 1 3

x 1 = 1 3 ; x 2 = 1

Como vemos, ao substituir x = 1 na função teríamos uma área nula:

A 1 = 1 1 - 1 2 = 0

Para saber se é um ponto de máximo mesmo, devemos testar o sinal da derivada. Como é fácil de derivar, podemos usar o teste da segunda derivada.

A ' ' x = 6 x - 4 A ' ' 1 / 3 = 2 - 4 < 0

Como a segunda derivada é negativa no ponto crítico, podemos concluir que o x responsável pelo retângulo de área máxima é x = 1 / 3 .

É um ponto de máximo global, pois no outro ponto crítico, que a fronteira direita, a área é nula. No ponto x = 0 , que é a fronteira à esquerda:

A 0 = 0 3 - 2 0 2 + 0 = 0

Uma vez que x é a base do retângulo e f x a sua altura, descobrimos:

B a s e = 1 3   ; A l t u r a = f 1 3 = 4 9

Essas são as dimensões do nosso retângulo, 1 / 3,4 / 9 !

Resposta

B a s e = 1 3   ; A l t u r a = 4 9

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