Exercícios Resolvidos de Otimização – Modelagem

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Enunciado

Encontre a maior área de um retângulo que podemos inscrever entre o gráfico da função f x = 1 4 + x 2 e o eixo das abscissas x . Justifique por que o retângulo que você encontrou será o de maior área.

Passo 1

A questão ta pedindo pra gente achar a maior área, certo? Oras, então podemos chamar essa questão de uma questão de otimização: achamos a área, e otimizamos pra achar a maior possível! E o que é a área de retângulo se não a sua base vezes a sua altura?

A = 2 B H

Ok, mas e agora? Não dá pra otimizar isso! Caaaalma gafanhoto, não dá porque não relacionamos as variáveis ainda! E é exatamente isso que vamos fazer agora!

Passo 2

Vamos brincar um pouco com o valor de B . Perceba que, quando eu quero que B valha 3 , temos x = 3 e quando eu quero que B valha 2 , tenhos x = 2 !

Opa, então B é o próprio x ! Escrevemos então:

B = B x = x

Agora vamos checar o valor de H . Veja só, se eu escolher B 3 = 3 , a altura H vai ser uma reta que sai da horizontal ( y = 0 ) e vai até a função, isto é y = f 3 . E, analogamente, se eu escolher B 2 = 2 , a altura H vai ser uma reta que sai da horizontal e vai até y = f 2 .

Oras, então H sai ser ninguém menos que a própria função do enunciado!

H = H x = f x = 1 4 + x 2

Peraí, quer dizer que tanto B quanto H são funções de x ? Isso mesmo! E se são, conseguimos relacionar as variáveis e escrever a área também como uma função de x ! Dá uma olhada:

A = 2 B H = 2   B x   H x = 2   x   1 4 + x 2

A x =   2 x 4 + x 2

Passo 3

Beleza, temos a função a ser otimizada! Agora pra achar a área máxima, basta achar o ponto de máximo de A x , tranquilo? E que melhor forma de fazer isso do que derivando e achando os pontos críticos! Bora lá:

A ' x = 2 x 4 + x 2 '

A ' x = 4 + x 2 2 x ' - 2 x 4 + x 2 ' 4 + x 2 2

A ' x = 4 + x 2 2 - 2 x 2 x 4 + x 2 2 = 8 + 2 x 2 - 4 x 2 4 + x 2 2 = 8 - 2 x 2 4 + x 2 2

Igualando à 0 pra achar os pontos críticos, temos:

A ' x = 8 - 2 x 2 4 + x 2 2 = 0

8 - 2 x 2 = 0

2 x 2 = 8

x 2 = 4

x = ± 2

Mas como B x = x e não existe base com valor negativo, o único x que vale é:

x = 2

Show de bola, achamos o ponto que maximiza a área! Se isso ocorre quando x = 2 , temo então:

B 2 = 2

H 2 = 1 4 + 2 2 = 1 8

A 2 = 2   B 2   H 2 = 1 2

Passo 4

Pra gente fechar a questão com chave de ouro, falta só a gente confirmar que o ponto achado é um ponto de máximo global. Pra isso, vamos olhar a cara de A x :

A x =   2 x 4 + x 2

Perceba que para x = 0 temos A 0 = 0 e que para x < 0 temos A x < 0 . Ou seja, só podemos colocar aí nessa função valores positivos de x porque se não teríamos áreas negativas ou nulas, o que não dá muito certo aqui!

Agora, dá uma olhada ainda nesse limite:

lim x → + ∞ ⁡ 2 x 4 + x 2

Realizando L’Hospital:

lim x → + ∞ ⁡ 2 2 x =   lim x → + ∞ ⁡ 1 x = 0

Não é que a função decresce no infinito? Então, se saímos de uma área nula quando x = 0 , crescemos até a área 1 2 quando x = 2 e quando x → + ∞ a área volta a ser nula, realmente a maior área possível é A 2 = 1 2 !

Resposta

A = 1 2

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