Exercícios Resolvidos de Otimização – Modelagem

Ver Teoria

Enunciado

Se um retângulo tiver sua base em um eixo x e dois vértices sobre a curva y = e - x 2 . Mostre que o retângulo tem maior área possível quando os vértices estão nos pontos de inflexão da curva.

Passo 1

Tá bem, vamos primeiro esboçar o problema. A curva y = e - x 2 é uma exponencial no expoente sempre negativo ( - x 2 ) e se comportará sempre como a parte à esquerda da origem de e - x , ou seja, se aproximando de zero:

Como a base está no eixo x e os outros dois vértices estão sobre a curva, teremos:

Passo 2

Vamos tentar atribuir variáveis ao problema e relacioná-las agora. Como temos um retângulo de base 2 x (à esquerda e à direita da origem) e altura y a área será: A = x y = 2 x ⋅ e - x 2

Show, queremos mostrar que o valor máximo dessa área é um ponto de inflexão, ou seja, ocorre quando a figura muda de concavidade.

A relação entre os dois pode ficar um pouco confusa, então vamos determinar esse ponto de máximo otimizando e depois verificamos se trata de um ponto de inflexão.

Passo 3

Para otimizar, achamos os pontos críticos que, nesse caso, ocorrem quando a derivada é zero. Derivando pela regra do produto e cadeia: A ' x = 2 x ' e - x 2 + 2 x e - x 2 '

Como e - x 2 é uma função composta, para derivar, consideramos u = - x 2 que é o que está na exponencial e, então teremos:

e - x 2 ' = d e u d u ⋅ d u d x

Sendo:

d e u d u = e u ' = e u = e - x 2

d u d x = - x 2 = - 2 x

Ficando:

e - x 2 ' = - 2 x e - x 2

A ' x = 2 e - x 2 - 4 x 2 e - x 2 = e - x 2 2 - 4 x 2

Temos que igualar isso a zero agora:

A ' x = e - x 2 2 - 4 x 2 = 0

Como e - x 2 > 0 para todo x , então resta: 2 - 4 x 2 = 0 ⟹ x = 2 2

Desconsiderando a parte negativa, pois x é uma unidade de medida para área.

Passo 4

Vamos verificar agora se é um ponto de máximo global da área. Para tal, temos que, para x = 0 , por exemplo:

A ' 0 = 2 > 0

A ' 2 = e - 2 2 - 8 = - 6 e - 2 < 0

Como a derivada é maior que zero à esquerda e menor que zero à direita de x = 2 / 2 , então, pelo teste da primeira derivada, esse é um ponto de máximo.

Para os extremos temos:

lim x → ∞ ⁡ 2 x ⋅ e - x 2 = l i m x → ∞ 2 x e x 2 = ∞ ∞

Aplicando L’Hôpital:

l i m x → ∞ 2 x e x 2 = l i m x → ∞ 2 2 x e x 2 = 0

Logo, esse é um ponto de máximo global mesmo.

Passo 5

Agora só resta verificar se x = 2 / 2 é um ponto de inflexão mesmo. Para isso, vamos derivar novamente. Pela regra do produto:

A ' ' x = e - x 2 ' 2 - 4 x 2 + e - x 2 2 - 4 x 2 '

A ' ' x = - 2 x e - x 2 2 - 4 x 2 + e - x 2 - 8 x = e - x 2 ( 8 x 3 - 12 x )

Show, agora vamos verificar se x = 2 2   faz A ' ' x = 0 :

A ' ' 2 2 = e - ( 2 2 ) 2 ( 8 ( 2 2 ) 3 - 12 2 2 )

A ' ' 2 2 = e - 1 2 2 2 - 6 2 = - 4 2 e

Opa, reparem que não deu igual a 0 , logo x = 2 2 não é um ponto de inflexão

Resposta

Máximo para x = 2 / 2 que não é um ponto de inflexão.

Exercícios de Livros Relacionados

Estão dados os gráficos da função posição de dois corredores, A e B que correm 100 metros rasos e terminam empatados.Descreva e compare como os corredores correram a prova.Em que instante a distância
Se a meia-vida do rádio for de 1.690 anos, que porcentagem da quantidade presente agora restará após:a) 100 anos?
Nos exercícios de 40 a 45, uma partícula está se movendo ao longo de uma reta, de acordo com a equação de movimento dada, onde s cm é a distância orientada entre a partícula e a origem no instante t s
Encontre d 3 y d x 3 se y = 3 - 2 x .
Um objeto está escorregando por um plano inclinado de acordo com a equação s = 12 t 2 + 6 t , onde s m é a distância orientada do objeto até o topo do plano, após t s do início do movimento. (a) Ache