Exercícios Resolvidos de Otimização – Modelagem

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Enunciado

Seja x > 0 . Considere o triangulo com vértices em A = ( 0,8 ) , B = ( 0,6 ) e C = ( x , 0 ) . Ache o valor de x que maximize o ângulo entre A C - e B C - .

Passo 1

Desenhando o que está acontecendo obtemos a seguinte figura:

Vamos marcar um ângulo auxiliar α para... hã... nos auxiliar:

Temos então:

c o t g α + θ = x 8 → α + θ = a r c c o t g x 8

c o t g α = x 6 → α = a r c c o t g x 6

Passo 2

Portanto nosso ângulo desejado é:

θ = a r c c o t g x 8 - a r c c o t g x 6

O valor máximo é um ponto crítico onde θ ' x = 0 , portanto:

θ ' = - 1 8 1 + x 8 2 - 1 - 1 6 1 + x 6 2 - 1

Passo 3

Igualando a zero e resolvendo:

1 8 1 + x 2 64 - 1 = 1 6 1 + x 2 36 - 1

Elevando tudo à - 1 :

8 1 + x 2 64 = 6 1 + x 2 36

8 + x 2 8 = 6 + x 2 6

2 = x 2 2 1 3 - 1 4

4 = x 2 12 → x 2 = 48

x = ± 4 3

Sabendo, pelo enunciado, que x > 0 :

x = 4 3

Passo 4

Ou seja, achamos um ponto crítico. Agora basta provar que este ponto é máximo e é absoluto. Para provar que é mínimo sem encontrar a derivada segunda de θ podemos analisar como muda o sinal de sua derivada em torno de x = 4 3 . No caso temos:

θ ' x = 1 6 1 + x 2 36 - 1 8 1 + x 2 64

Chutando algum valor x 0 < 4 3 :

θ ' 0 = 1 6 - 1 8 > 0

Portanto, como só existe um ponto crítico e nenhuma descontinuidade:

θ ' x > 0   ∀ x ∈ 0,4 3

Passo 5

Chutando algum valor x 0 > 4 3 :

θ ' 6 * 8 = 1 6 ( 1 + 64 ) - 1 8 ( 1 + 36 )

θ ' 6 * 8 = 1 6 * 65 - 1 8 * 37 < 0

Ou seja, analogamente:

θ ' x < 0   ∀ x ∈ 4 3 , ∞

Passo 6

Ou seja, a função era crescente antes de 4 3 e decrescente depois. Isto configura um ponto de máximo. Agora, se mostrarmos que a função não explode para infinito em nenhum ponto, temos que ele vai ser máximo absoluto. Como não existem descontinuidades malucas em θ ( x ) (divisões por zero, etc.) precisamos apenas checar os extremos do domínio:

lim x → 0 + ⁡ θ x = a r c c o t g 0 - a r c c o t g 0 = 0

lim x → ∞ ⁡ θ ( x ) = 0 - 0 = 0

Portanto não explode para infinito em ponto algum. A função é limitada e x = 4 3 é máximo absoluto.

Resposta

4 3

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