Exercícios Resolvidos de Otimização – Modelagem

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Enunciado

Seja a , b um ponto da parábola y = x 2 , com 0 < a < 3 .

  1. Escreva uma função que represente a área do triângulo determinado pelos pontos 0,3 , a , b e - a , b .
  2. Encontre o valor de a tal que a área do triangulo do item anterior seja máxima. Justifique sua resposta!

Passo 1

Vamos para a letra a . Bem, se o ponto a , b pertence a parábola y = x 2 , então b = a 2 . Dessa maneira, o triângulo será:

0,3 a , a 2 - a , a 2

Como, pelo enunciado:

0 < a < 3

Então:

0 < a 2 < 3

Sendo y = 3 , o ponto de altura máxima do triângulo. Traçando-o no plano cartesiano:

Assim, pela fórmula da área do triângulo:

A = b a s e ⋅ a l t u r a 2 = Δ x ⋅ Δ y 2 = a - - a ⋅ 3 - a 2 2 = 3 a - a 3

Passo 2

Agora que temos a expressão da área, vamos encontrar o valor de a que a maximiza. O máximo dá área pode ocorrer somente nos pontos críticos, quando a derivada é zero ou não existe. Vamos derivar então:

A ' = 3 - 3 a 2 = 3 1 - a 2

Portanto, os pontos críticos são:

a = ± 1

Como 0 < a < 3 , só nos interessa a = 1 . Precisamos determinar se é um ponto de máximo. Vamos fazer isso usando o teste da segunda derivada, uma vez que A ' é fácil de derivar:

A ' ' = 3 1 - a 2 ' = - 6 a

Para a = 1 , temos:

A ' ' = - 6 < 0

Como A ' ' < 0 para a = 1 , concluímos que esse é um ponto de máximo pelo teste da segunda derivada. Nesse ponto:

A = 3 - 1 = 2 u . a

Enquanto, nos extremos:

A 0 = 0 - 0 < 2

A 3 = 3 3 - 3 3 = 0 < 2

Mostrando que esse é um ponto de máximo global.

Resposta

  1. A = 3 a - a 3

  2. a = 1 .

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