Exercícios Resolvidos de Otimização – Modelagem

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Enunciado

1) Seja D a região limitada do plano, compreendida entre a parábola y = 1 - x 2 e o eixo x . Considere um trapézio isóscele contido em D com as seguintes propriedades:

  • A base maior é o segmento - 1,1 do eixo x ;
  • Os vértices da base menor também estão situados no gráfico da parábola (ver figura abaixo)

Qual a maior área possível que este trapézio pode ter?

Passo 1

Partiu então. Pra começar, vamos pensar no seguinte: como queremos otimizar uma área, precisamos saber a expressar ela primeiro! Como todo bom trapézio, a área vai ser:

A = B + b h 2

Onde B é a base maior, b a base menor e h a altura. Opa, temos três variáveis aí! Pra gente conseguir otimizar vamos ter que escrever A como uma função de uma variável só! Então não tem jeito, próximo passo é relacionar as variáveis!

Passo 2

Agora pensa aqui comigo, a base de baixo é fixa, não é? Então já temos um dado do enunciado que da pra por na fórmula da área. Se a base B vai de - 1,1 então:

B = 2

A = 2 + b h 2

Show de bola, mas falta coisa ainda. Nota agora o seguinte. Se a base de baixo ta fixa e a de cima não, mover a base menor b pra cima ou pra baixo é o que faz mudar a área do trapézio! Veja que pra qualquer altura que eu escolher da base menor, é possível estabelecer um pono P tal que:

Ai você vai me perguntar: ué mas como isso ajuda a gente? Pensa comigo, se o ponto P tem coordenada x , y e está em cima da curva, a altura h do trapézio vai ser exatamente a altura y do ponto! E logo:

h = y = 1 - x 2

A = 2 + b 1 - x 2 2

E pela simetria do problema, o outro ponto de interseção da base menor b com a curva vai ser: P ' = - x , y . Opa! A distância entre esses dois pontos, que é exatamente a base menor b , só pode ser então:

b = P ' P - = x - - x = 2 x

A = 2 + 2 x 1 - x 2 2

A = 1 + x 1 - x 2

Fazendo a distributiva:

A x = 1 - x 2 + x - x 3

Passo 3

E agora chegamos na parte boa! A parte que a gente efetivamente otimiza! Pra isso, agora que sabemos A como uma função de uma variável só, pra otimizar, basta derivar e igualar a zero

A ' x = 1 - x 2 + x - x 3 '

A ' x = - 3 x 2 - 2 x + 1 = 0

3 x 2 + 2 x - 1 = 0

Fazendo Bháskara, temos:

3 x 2 + 2 x - 1 = a x 2 + b x + c = a x - x 1 x - x 2

x 1,2 = - b ± b 2 - 4 a c 2 a

E logo:

x 1,2 = - 2 ± 4 + 12 6 = - 2 ± 16 6 = - 2 ± 4 6 = - 1 ± 2 3

x 1,2 = - 1 + 2 3 = 1 3 - 1 - 2 3 = - 3 3 = - 1

Como a gente não pode escolher valores negativos de x , já que ele é uma grandeza física, o único ponto crítico que encontramos é:

x = 1 3

Pra checar se ele é de máximo mesmo, vamos ver o valor da área na fronteiras. O x é metade da base menor b , certo? Sendo assim:

x ∈ 0,1

E testando o valor da área nas fronteiras e no ponto crítico, temos:

A 0 = 1

A 1 3 = 32 27

A 1 = 0

Beja bem, a área era 1 , cresceu para 32 27 e decresceu pra zero! Então ta fechado! O ponto x = 1 3 é de fato um ponto de máximo da função A x e logo a maior área que o trapézio pode ter será:

A 1 3 = 32 27

Ufa! Cabamos hahaha

Resposta

A 1 3 = 32 27

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