Ache o polinômio de Taylor de ordem 2 da função

f x = x 2 cos ⁡ x - 1

ao redor de x 0 = 1 .

Passo 1

Pra calcular o polinômio de Taylor de ordem 2, precisamos da derivada primeira e da derivada segunda da f , então vamos começar calculando elas.

Pelas regras do produto e da cadeia:

f ' x = 2 x cos ⁡ x - 1 + x 2 - sen ⁡ x - 1

f ' x = 2 x cos ⁡ x - 1 - x 2 sen ⁡ x - 1

A segunda derivada vai ser:

f ' ' x = 2 cos ⁡ x - 1 - 2 x sen ⁡ x - 1 - 2 x sen ⁡ x - 1 - x 2 cos ⁡ x - 1

f ' ' x = 2 - x 2 cos ⁡ x - 1 - 4 x sen ⁡ x - 1

Passo 2

Aplicando a fórmula, o polinômio de Taylor procurado é dado por:

P 2 x = f 1 + f ' 1 1 ! x - 1 + f ' ' 1 2 ! x - 1 2

Já que os termos cos ⁡ x - 1 e sen ⁡ x - 1 aparecem tanto na função quanto nas suas derivadas, vamos calcular logo eles em x = 1 :

cos ⁡ x - 1 = cos ⁡ 0 = 1

sen ⁡ x - 1 = sen ⁡ 0 = 0

Assim:

f 1 = 1

f ' 1 = 2.1 - 1.0 = 2

f ' ' 1 = 2 - 1 . 1 - 4.1 . 0 = 1

Passo 3

Então o polinômio vai ser:

P 2 x = 1 + 2 1 x - 1 + 1 2 x - 1 2

P 2 x = 1 + 2 x - 2 + 1 2 x 2 - x + 1 2

⇒ P 2 x = - 1 2 + x + 1 2 x 2

Resposta

- 1 2 + x + 1 2 x 2

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