Prove que se f é uma função par, então o polinômio de Taylor de grau n em torno de x = 0 contém apenas potências pares de x . (Sugestão: prove que f   p a r → f '   í m p a r → f ' ' p a r → f ' ' ' í m p a r → … f 2 k   p a r → f 2 k + 1   í m p a r )

Passo 1

Provar a sugestão

Essa questão parece complicada, mas vamo que vamo que tiramos ela de letra. A primeira coisa que vamos fazer é provas a sugestão. Até porque, ela não está lá a toa né! Então simbora: da definição de função par, tiramos que

f x = f - x

Show de bola, agora vamos derivar dos dois lados, lembrando de usar a regra da cadeia:

f ' x = f - x '

f ' x = f - x - x '

f ' x = - f - x

Opa, na última linha chegamos a exatamente a definição de função ímpar! Vamos derivar mais duas vezes só pra ficar claro:

f ' ' x = - f ' - x '

f ' ' x = - f ' ' - x - x '

f ' ' x = f ' ' - x

E pela última vez:

f ' ' ' x = f ' ' - x '

f ' ' ' x = f ' ' ' - x - x '

f ' ' ' x = - f ' ' ' - x

Ou seja, seja f uma função par, qualquer derivada de ordem par é uma função par e qualquer derivada de ordem ímpar é uma função ímpar.

Passo 2

Usar a definição de função par na expansão da série de Taylor

Maravilha, vamos agora usar o Taylor propriamente dito pra entender como as coisas vão ficar. Centado em 0 vamos ter:

f x = ∑ k = 0 n f k 0 k !   x k

Se f x é par, então f x = f - x . Isso, falando em termos de série de Taylor, é o mesmo que:

∑ k = 0 n f k 0 k !   - x k = ∑ k = 0 n f k 0 k !   x k

Agora, vamos abrir esses somatórios pra ver o que acontece:

f 0 + f ' 0 - x + f ' ' 0 2   x 2 + f ' ' '   0 6 - x 3 + … =   f 0 + f ' 0 x + f ' ' 0 2   x 2 + f ' ' '   0 6 x 3 + …    

Opa, peraí! Temos termos iguais dos dois lados da expansão! E são exatamente os termos com k ímpar (e pra k = 0 também). Se cortarmos dos dois lados o que for igual, vamos ter:

f ' 0 - x + f ' ' '   0 6 - x 3 + … =   f ' 0 x + f ' ' '   0 6 x 3 + …

f 1 0 1 ! - x + f 3   0 3 ! - x 3 + f 5   0 5 ! - x 5 + … =   0

E olha só, olha lá, olha aqui! Pra isso ser verdade, todo f k 0 deve ser igual a 0 , sendo que k é sempre um número ímpar. Como f x é diferenciável, qualquer derivada sua também será. Ta mas e daí? Po, não vimos no passo 1 que todo f k x pra k ímpar é uma função ímpar? Então! Funções ímpares diferenciáveis sempre passam na origem!

Resposta

f k 0 = 0 para todo k ímpar se f x é uma função par. Sendo assim, f x expandido em uma série de Taylor centrada em x o = 0 será uma série com somente potências pares.

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D e t e r m i n eop o l i n ô m i od eT a y l o r ,d eo r d e m2 ,d efe mv o l t ad ex 0d a d o . ô sen ⁡ x e x 0 = 0
D e t e r m i n eop o l i n ô m i od eT a y l o r ,d eo r d e m2 ,d efe mv o l t ad ex 0d a d o . ô f x = cos ⁡ x e x 0 = 0
Utilizando a relação s e nx = x + o x 2 ,c a l c u l elim x → 0 ⁡ s e nx - x 2 x 2 Sugestão. o x 2 é um infinitésimo de ordem superior a x 2 , para x → 0 , isto é, lim x → 0 ⁡ o x 2 x 2 = 0
38. Sejam P x e Q x polinômios tais que P ( x 0 ) =P ' x o = 0 ,Q ( x 0 ) = Q ' ( x 0 ) = 0 e Q " ( x 0 ) ≠ 0 . Mostre que lim x → xo ⁡ P x Q x = P " x o Q " x o . Generalize.
Utilizando a relação s e nx = x + o x 2 ,c a l c u l e lim x → 0 ⁡ sen ⁡ x - x x 2 Sugestão. o x 2 é um infinitésimo de ordem superior a x 2 , para x → 0 , isto é, lim x → 0 ⁡ o x 2 x 2 = 0