Sabe-se que uma função y = f x duas vezes diferenciável satisfaz a equação:

3 x y + y 3 = 4 f 1 = 1

  1. Calcule y ' e y ' ' no ponto 1,1 .
  2. Encontre o polinômio de Taylor de grau dois em torno do ponto a = 1 .

Passo 1

Vamos começar pela letra a. Para calcular y ' e y ' ' , vamos derivar implicitamente:

3 x y + y 3 ' = 4 ' ⟹ 3 y + 3 x y ' + 3 y 2 y ' = 0 ⟹ y + x y ' + y 2 y ' = 0

Isolando y ' :

x y ' + y 2 y ' = - y ⟹ y ' x + y 2 = - y ⟹ y ' = - y x + y 2  

Encontramos y ' , para encontrar y ' ' , derivamos novamente usando a regra do quociente:

y ' ' = y ' x + y 2 - y x + y 2 ' x + y 2 2 = - y ' x + y 2 - y 1 + 2 y y ' x + y 2 2

Agora, vamos determinar os valores no ponto desejado, substituindo f x = 1 = y 1 = 1 :

y ' 1,1 = - 1 1 + 1 2 = - 1 2

y ' ' 1,1 = - - 1 / 2 1 + 1 2 - 1 1 + 2 ⋅ 1 ⋅ - 1 / 2 1 + 1 2 2 = - - 1 - 0 4 = 1 4

Passo 2

A ideia do polinômio de Taylor não muda nada com aproximações para implícitas, onde f ' a = y ' ( a ) ,

No ponto a = 1 , temos, para a aproximação de grau 2 : P x = f a + f ' a x - a + f ' ' a x - a 2 2

Ou seja:

P x = f 1 + f ' 1 x - 1 + f ' ' 1 x - 1 2 2

Substituindo os valores achamos na letra a : P x = 1 - 1 2 x - 1 + 1 8 x - 1 2

Pronto, sem mistério.

Resposta

y ' 1,1 = - 1 2

y ' ' 1,1 = 1 4

P x = 1 - 1 2 x - 1 + 1 8 x - 1 2

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