Um bloco de massa m = 3,0   k g inicialmente em repouso e a uma altura h = 60   c m desliza para baixo sobre a superfície de um plano inclinado que faz um ângulo θ = 30 ° com a horizontal. O plano inclinado permanece em repouso enquanto o bloco desliza sobre ele. Depois de ter chegado à base do plano o bloco continua a deslizar por uma distância d ao longo de uma superfície horizontal até entrar em repouso. O coeficiente de atrito cinético μ C = 0,20 é o mesmo entre o bloco e ambas as superfícies. Utilize obrigatoriamente a Lei de Conservação de Energia.

Dados: g = 10   m / s 2

a) Determine o valor da energia potencial que o bloco possui assim que ele chega à superfície horizontal.

b) Determine o valor da energia cinética que o bloco possui assim que ele chega à superfície horizontal.

c) Determine a distância d percorrida pelo bloco ao longo da superfície horizontal até ele entrar em repouso.

Passo 1

Na letra (a), queremos a energia potencial gravitacional do bloco na superfície horizontal.

Bom, a energia potencial gravitacional depende sempre de uma referência de energia potencial zero.

Geralmente traçamos essa referência no ponto mais baixo da trajetória, porém isso é opcional.

Assim, temos que a energia potencial gravitacional do bloco é zero de acordo com o nosso referencial:

U g = 0

Passo 2

Na letra (b), queremos a energia cinética do bloco assim que ele atinge o solo.

Uma boa maneira de encontrar a energia cinética é relacionando ela com o trabalho das forças sobre o corpo (Teorema Trabalho-Energia Cinética):

W R = ∆ K

Esse teorema, parte da conservação da energia (exigida no enunciado). Porém, não significa que a energia do bloco se conserva, pois há uma força de atrito.

Entretanto, a energia do sistema total se conserva, ou seja, a energia perdida pelo bloco é a energia ganha pelo meio.

Eu sei, fica um pouco abstrato, mas dá uma olhada como vamos utilizar esse teorema.

Esse teorema diz que o trabalho resultante sobre o corpo (todas as forças) é igual a variação de energia cinética.

Como o corpo parte do repouso, sua energia cinética inicial é nula:

W R = K f - K 0

W R = K f - 0

W R = K f

Passo 3

Beleza, mas quem é o trabalho resultante sobre o corpo?

É o trabalho de todas as forças sobre ele:

W P + W N + W F a t = K f

Já de cara, podemos cortar o trabalho da força normal W N .

Isso porque essa força é sempre perpendicular ao deslocamento, logo seu trabalho é zero:

W N = 0

Então, ficamos com:

W P + W F a t = K f

Vamos calcular esses dois trabalhos.

Passo 4

O trabalho da força peso é dado pela variação de altura do bloco:

W P = ± m g h

Como o bloco está descendo, a força peso está a favor do deslocamento, e por isso, seu trabalho é positivo:

W P = m g h

Passo 5

Já a força de atrito atua contra o deslocamento (mesma direção e sentido oposto), portanto seu trabalho é negativo:

W F a t = - F a t d

Mas precisamos descobrir quem é essa força de atrito F a t e quanto vale o deslocamento d .

Vamos começar com a F a t . A força de atrito cinético é dada por:

F a t = μ C N

E essa força normal N , nós podemos encontrar fazendo o equilíbrio de forças na direção perpendicular à rampa:

N - P c o s θ = 0

N = m g c o s θ

Então, a força de atrito é:

F a t = μ C m g c o s θ

Mas e o deslocamento d ?

Bom, sabemos a inclinação da rampa e a altura vertical que o bloco desceu, então, conseguimos calcular a distância na direção da rampa:

s e n θ = h d

d = h s e n θ

Assim, juntando as expressões de F a t e d , temos que o trabalho da força de atrito é:

W F a t = - F a t d

W F a t = - μ C m g c o s θ h s e n θ

Passo 6

Beleza, agora que já temos o trabalho da força peso e de atrito, podemos voltar por teorema:

W P + W F a t = K f

m g h - μ C m g c o s θ h s e n θ = K f

Colocando m g h em evidência, temos:

K f = m g h 1 - μ C c o s θ s e n θ

Substituindo os valores:

K f = 3 10 0,6 1 - 0,2 c o s 30 ° s e n 30 °

K f = 18 1 - 0,2 3 2 1 2

K f = 18 1 - 0,2 3

K f = 18 1 - 0,34

K f = 11,8   J

Então, a energia cinética no instante em que o bloco chega ao chão é aproximadamente:

K f ≈ 12   J

Passo 7

Na letra (c), queremos saber a distância percorrida até que o bloco pare.

Novamente, vamos utilizar o teorema:

W R = K 2 - K 1

Mas agora, vamos considerar o instante inicial a partir do momento que o bloco atinge o chão, pois já calculamos esse valor no item (b):

K 1 = K f = m g h 1 - μ C c o s θ s e n θ

E o instante final, sendo o instante onde o bloco volta ao repouso, ou seja, sua energia cinetica é nula:

K 2 = 0

Passo 8

E o trabalho resultante sobre o bloco será o trabalho das forças peso, normal e de atrito:

W R = W P + W N + W F a t

Como tanto a força peso P → , quanto a força normal N → não realizam trabalho, resta apenas o trabalho da força de atrito:

W R = W F a t

O trabalho da força de atrito ainda é dado pela expressão:

W F a t = - F a t d

Entretando, o módulo da força de atrito F a t se alterou, já que a força normal N também se alterou:

F a t = μ C N

Como há um equilíbrio na vertical, temos que:

N = m g

Então:

F a t = μ C m g

Substituindo na expressão do trabalho, temos:

W F a t = - μ C m g d

Passo 9

Agora, podemos voltar ao teorema:

W R = K 2 - K 1

W F a t = 0 - K 1

- μ C m g d = - m g h 1 - μ C c o s θ s e n θ

Cortando m g e o sinal negativo, temos:

μ C d = h 1 - μ C c o s θ s e n θ

d = h 1 μ C - c o s θ s e n θ

d = 0,6 1 0,2 - c o s 30 ° s e n 30 °

d = 0,6 5 - 1,73

d = 0,6 3,28

d ≈ 2   m

Essa é a distância que o bloco leva até parar.

Resposta

(a) U g = 0

(b)

K f ≈ 12   J

(c) d ≈ 2   m

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