Usando o polinômio de Taylor de ordem 2, calcule o valor aproximado de:

s e n ( 0,1 )

Passo 1

O primeiro passo é encontrarmos o polinômio de Taylor de ordem 2 para s e n ( 0,1 ) . Esse polinômio pode ser encontrado usando a função aí embaixo, em que f ' x 0 e f ' ' x 0 são os valores da derivada primeira e segunda, respectivamente no ponto x 0

P x = f x 0 + f ' x 0 x - x 0 + f ' ' x 0 x - x 0 2 2 !

Passo 2

Vamos então calcular a primeira e segunda derivada dessa função dada no enunciado, que seria s e n ( x ) .

f ' x = c o s ⁡ ( x )

f ' ' x = - s e n ( x )

Substituindo temos:

P x = s e n ( x ) + c o s ⁡ ( x )   x - x 0 - s e n ( x )     x - x 0 2 2

Note que o ponto x 0 não foi dado. Mas aí qual é a ideia do problema quando isso acontece? O grande bizu aqui é você pegar um valor de x 0 próximo daquele que está dentro da sua função dada no enunciado. Tipo, nesse problema temos s e n ( 0,1 )   ou seja, temos um x = 0,1 . Então, podemos pegar um valor próximo de 0,1 e usar a série de Taylor pra obter o valor aproximado de s e n ( 0,1 ) . A preferência é pegar um valor que você vá conhecer. Nesse caso, vou escolher x 0 = 0 , porque s e n ( 0 ) eu sei que é 0.

Passo 3

Para x 0 = 0 , temos:

P x = x

Agora que encontramos o polinômio, o que a gente deve fazer?

Agora, no lugar de x , vamos substituir pelo ponto de x = 0,1 que é o valor de x dentro da raiz.

P 0,1 = 0,1

Resposta

P 0,1 = 0 , 1

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D e t e r m i n e o p o l i n ô m i o d e T a y l o r , d e o r d e m 2 , d e f e m v o l t a d e x_0 d a d o . ô f (x) = cos x e x_0 = 0
Utilizando a relação s e nx = x + o x 2 ,c a l c u l elim x → 0 ⁡ s e nx - x 2 x 2 Sugestão. o x 2 é um infinitésimo de ordem superior a x 2 , para x → 0 , isto é, lim x → 0 ⁡ o x 2 x 2 = 0
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Utilizando a relação s e nx = x + o x 2 ,c a l c u l e lim x → 0 ⁡ sen ⁡ x - x x 2 Sugestão. o x 2 é um infinitésimo de ordem superior a x 2 , para x → 0 , isto é, lim x → 0 ⁡ o x 2 x 2 = 0