Exercícios Resolvidos de EDO Homogênea

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Enunciado

Passo 1

Quando a EDO está nesse formato é interessante vermos se ela é homogênea, então vamos calcular f ( t x , t y ) .

f t x , t y = 4 t y t x + 3 t 2 y 2 t 2 x 2 = f ( x , y )

Então a equação é homogênea e devemos fazer a seguinte substituição:

u = y x e y ' = u ' x + u

Passo 2

Substituindo na equação:

y ' = y x 4 + 3 y x ⟹ u ' x + u = 4 u + 3 u 2

Agora temos uma equação separável, vamos resolvê-la:

u ' 3 u + u 2 = 1 x

Integrando dos dois lados:

∫ d u 3 u u + 1 = ∫ 1 x d x

Devemos resolver o lado esquerdo por fracoes parciais, então expandindo temos:

1 3 ∫ 1 u - 1 u + 1 d u = ∫ 1 x d x

Então:

1 3 ln ⁡ u - ln ⁡ u + 1 = ln ⁡ x + C

Substituindo u = y x :

y y + x = C x 3

Resposta

y y + x = C x 3

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