Exercícios Resolvidos de EDO Homogênea

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Enunciado

Um tanque de 120 litros de água contem 10kg de sal. Você o irriga com água limpa a uma taxa de 2 litros por minuto e deixa a mistura escoar com a mesma vazão. Encontre uma fórmula Q ( t ) que expressa a quantidade de sal (em kilos) no tempo t (em minutos).

Passo 1

Olaa, bora resolver essa comigo?

Para encontrar uma fórmula Q(t) que expressa a quantidade de sal (em quilos) no tempo t (em minutos), podemos usar um modelo de taxa de variação. Vamos quebrar o problema em etapas.

Inicialmente, temos 10 kg de sal no tanque de 120 litros de água. Portanto, a concentração inicial de sal (C0) é de 10   k g   /   120   l i t r o s   =   1 / 12   k g   p o r   l i t r o .

Agora, a água é irrigada no tanque a uma taxa de 2 litros por minuto, e a mistura é escoada com a mesma vazão. Isso significa que a taxa de entrada de água limpa no tanque é 2 litros por minuto, e a taxa de saída de líquido (que contém a mistura de sal e água) também é de 2 litros por minuto.

Portanto, a taxa de mudança da quantidade de sal no tanque ( d Q / d t ) é igual à taxa de entrada de sal (entrada de água limpa com concentração zero de sal) menos a taxa de saída de sal (taxa de saída da mistura de sal e água).

A taxa de entrada de sal é zero, pois a água limpa não contém sal (0 kg/L). A taxa de saída de sal é calculada multiplicando a concentração atual de sal no tanque (C) pela taxa de saída de líquido (2 litros por minuto):

d Q d t   =   - 2   *   C

Passo 2

Agora, precisamos encontrar uma expressão para C em termos de Q. A quantidade total de líquido no tanque é constante em 120 litros, então podemos usar essa informação para encontrar C em termos de Q:

120   l i t r o s   =   V   ( v o l u m e   d e   á g u a )   +   Q   ( q u a n t i d a d e   d e   s a l   e m   l i t r o s )

Como a concentração inicial de sal (C0) é de 1 / 12   k g / L , a concentração atual de sal (C) em relação a Q pode ser escrita como:

C   = 10   k g   +   Q   k g 120   l i t r o s   -   Q   l i t r o s

Agora, podemos substituir essa expressão para C na equação da taxa de mudança:

d Q d t   =   - 2   *   10   k g   +   Q   k g 120   l i t r o s   -   Q   l i t r o s  

Agora temos uma equação diferencial que relaciona a taxa de mudança da quantidade de sal (dQ/dt) à quantidade de sal presente no tanque (Q). Essa é uma equação diferencial separável. Para resolvê-la, podemos separar as variáveis e integrar:

d Q 10   +   Q *   120   -   Q   =   - 2   d t

Passo 3

Agora, integramos ambos os lados:

∫ 1 10   +   Q *   120   -   Q   d Q   =   ∫ ( - 2 )   d t

Podemos resolver a integral à esquerda usando uma fração parcial. Após a integração, você terá uma expressão para Q em função de t (Q(t)).

No entanto, a integral à esquerda pode ser um pouco complicada, e a solução será dada implicitamente.

A partir dessa fórmula, você poderá calcular a quantidade de sal no tanque em qualquer momento t dado em minutos.

Passo 4

∫ 1 10   +   Q *   120   -   Q   d Q   =   ∫ ( - 2 )   d t

Primeiro, resolvamos a integral à esquerda usando frações parciais:

∫ 1 10   +   Q   *   120   -   Q   d Q

Usaremos frações parciais para decompor a expressão em frações mais simples:

1 10   +   Q *   120   -   Q   = A 10   +   Q + B 120   -   Q

Agora, multiplique ambos os lados da equação por ( ( 10   +   Q )   *   ( 120   -   Q ) ) para igualar os denominadores:

1   =   A ( 120   -   Q )   +   B ( 10   +   Q )

Agora, vamos encontrar os valores de A e B. Comece substituindo Q = -10 para eliminar B:

1   =   A ( 120   +   10 )   +   B ( 10   -   10 )

1   =   A ( 130 )

A   = 1 130

Passo 5

Agora, substitua Q = 120 para eliminar A:

1   =   B ( 10   +   120 )

1   =   B ( 130 )

B   = 1 130

Agora que temos os valores de A e B, podemos escrever a decomposição em frações parciais:

1 10   +   Q *   120   -   Q   = 1 130 10   +   Q   + 1 130 120   -   Q

Agora, podemos prosseguir com a integração:

∫ 1 130 10   +   Q     + 1 130 120   -   Q   d Q   =   ∫ ( - 2 )   d t

Agora, integre ambos os lados:

1 130 ∫ 1 10   +   Q   + 1 120   -   Q     d Q   =   ∫ ( - 2 )   d t

Passo 6

A integral à esquerda é uma soma de duas integrais simples:

1 130   ∫ 1 10   +   Q   d Q   +   ∫ 1 120   -   Q   d Q       =   ∫ ( - 2 )   d t

Agora, resolvemos cada integral separadamente:

1 130   l n 10   +   Q -   l n 120   -   Q     =   - 2 t   +   C 1

Agora, simplificamos a equação:

1 130   l n | 10   +   Q |   -   1 130   l n 120   -   Q   =   - 2 t   +   C 1

Combine os termos de logaritmo:

1 130   l n 10   +   Q 120   -   Q   =   - 2 t   +   C 1

Agora, podemos eliminar o logaritmo aplicando exponenciação em ambos os lados:

10   +   Q 120   -   Q   =   e - 260 t   +   130 C 1

Agora, podemos considerar duas possibilidades para a parte esquerda da equação:

Passo 7

**Primeira Possibilidade:**

10   +   Q 120   -   Q   =   e - 260 t   +   130 C 1

Agora, vamos resolver essa equação para Q em termos de t:

10   +   Q   =   ( 120   -   Q )   *   e - 260 t   +   130 C 1

Expandindo o lado direito:

10   +   Q   =   120 e - 260 t   +   130 C 1   -   Q e - 260 t   +   130 C 1

Agrupando os termos de Q:

2 Q   =   120 e - 260 t   +   130 C 1   -   10

Dividindo por 2:

Q   =   60 e - 260 t   +   130 C 1   -   5

Essa é a primeira solução completa para Q(t) com base na primeira possibilidade.

Passo 8

**Segunda Possibilidade:**

- 10   +   Q 120   -   Q   =   e - 260 t   +   130 C 1

Novamente, vamos resolver essa equação para Q em termos de t:

- 10   +   Q 120   -   Q   =   e - 260 t   +   130 C 1

Multiplicando ambos os lados por -1 para eliminar o sinal negativo:

10   +   Q 120   -   Q   =   - e - 260 t   +   130 C 1

Agora, podemos resolver essa equação de maneira semelhante à primeira possibilidade:

10   +   Q   =   - ( 120   -   Q )   *   e - 260 t   +   130 C 1

Expandindo o lado direito:

10   +   Q   =   - 120 e - 260 t   +   130 C 1   +   Q e - 260 t   +   130 C 1

Agrupando os termos de Q:

2 Q   =   - 120 e - 260 t   +   130 C 1   -   10

Dividindo por 2:

Q   =   - 60 e - 260 t   +   130 C 1   -   5

Esta é a segunda solução completa para Q(t) com base na segunda possibilidade.

Lembre-se de que a constante de integração C1 depende das condições iniciais do problema.

Portanto, para uma solução específica, você precisaria conhecer os valores das condições iniciais para determinar o valor de C1.

Resposta

Q   =   - 60 e - 260 t   +   130 C 1   -   5

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