Exercícios Resolvidos de EDO Homogênea

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Enunciado

Passo 1

Para testar se é uma EDO homogênea mesmo, temos que pegar o x e o y da nossa EDO e substituir por λ x e λ y respectivamente. Se a EDO não mudar, ela é homogênea. Então nesse caso

5 x - y d x + 3 x d y = 0

5 x - y + 3 x d y d x = 0  

d y d x = - 5 x + y 3 x

Fazendo a substituição

d λ y d ( λ x ) = - 5 λ x + λ y 3 λ x  

λ d y λ d x = λ ( - 5 x + y ) λ 3 x

d y d x = - 5 x + y 3 x

A EDO permanece a mesma, logo ela é homogêna.

Passo 2

Agora, para resolver vamos utilizar a substituição

z = y x → y = z x

E vamos precisar de

d y d x = d z d x x + z d x d x = x d z d x + z

Fazendo a substituição

d y d x = - 5 x + y 3 x

d y d x = - 5 3 + y 3 x

x d z d x + z = - 5 3 + z 3

Manipulando um pouco nossa expressão

x d z d x = - 5 3 - 2 3 z

- x d z d x = 5 3 + 2 3 z

Repare que a EDO se tornou separável

d z 5 3 + 2 3 z = d x - x

E para resolver basta integrar dos dois lados da equação

∫ d z 5 3 + 2 3 z = - ∫ d x x

Passo 3

Para resolver a integral

∫ d z 5 3 + 2 3 z

Fazemos a substituição

u = 5 3 + 2 3 z

d u = 2 3 d z

Aplicando ficamos com

∫ d z 5 3 + 2 3 z = 3 2 ∫ d u u = 3 2 ln ⁡ u

Desfazendo a substituição

∫ d z 5 3 + 2 3 z = 3 2 ln ⁡ 5 3 + 2 3 z

Já do outro lado a expressão

= - ∫ d x x = - ln ⁡ x + C '

Note que teremos constantes de integração dos dois lados da equação, mas para facilitar a vida, é melhor juntar em apenas uma constante C ' .

Passo 4

Resolvidas as integrais, vamos juntar tudo na mesma expressão

∫ d z 5 3 + 2 3 z = - ∫ d x x

3 2 ln ⁡ 5 3 + 2 3 z = - ln ⁡ x + C '

ln ⁡ 5 3 + 2 3 z 3 2 = ln ⁡ x - 1 + C '

5 3 + 2 3 z 3 2 = x - 1 . e C '

5 3 + 2 3 z = x - 1 .   e C ' 2 3

Manipulando mais um pouco chegaremos em

2 3 z = e 2 3 C ' x - 2 3 - 5 3

Agora podemos desfazer aquela substituição lá do inicio

z = y x

2 3 y x   = e 2 3 C ' x - 2 3 - 5 3

E ficamos com

y = 3 2 e 2 C ' 3 x 1 3 - 5 2 x

Podemos substituir 3 2 e 2 C ' 3 = C já que é constante e ficamos com

y = C x 1 / 3 - 5 2 x

Resolvido nosso problema!

Resposta

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