Exercícios Resolvidos de EDO Homogênea

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Enunciado

Considere a equação da forma

d y d x = F q x + b y + c A x + B y + C

Onde a , b , c , A , B , C são constantes reais.

  1. Quando a B - A b ≠ 0 , pode-se reduzir essa equação em uma equação homogênea nas variáveis z e w se z = x - h e w = y - k , onde h e k são soluções do sistema linear.
  2. a x + b y + c = 0 A x + B y + C = 0

  3. Quando a B - A b = 0 e a e b não simultaneamente nulos, pode-se reduzir essa equação em uma equação de variáveis separáveis nas variáveis x e z , se fizermos a substituiç��o z = a x + b y
  4. Quando a B - A b = 0 e A e B não simultaneamente nulos, pode-se reduzir essa equação em uma equação de variáveis separáveis nas variáveis x e z , se fizermos a substituição z = A x + B y

Passo 1

A primeira coisa que temos que fazer é realizar a mudança de variável. Derivando a equação de w em função de z .

d w d z = d y d z

Sabemos pela regra da cadeia que d y d x = d y d z d z d x   e como d z d x = 1

d w d x = d y d x

Passo 2

Fazendo a mudança de variável.

d w d z = F a z + h + b w + k + c A z + h + B w + k + C

Vamos analisar somente o que está dentro dos parênteses.

a z + h + b w + k + c A z + h + B w + k + C = a z + b w + ( a h + b k + c ) A z + B w + A h + B k + C

Como h e k são soluções do sistema temos que

a h + b k + c = 0

A h + B k + C = 0

a z + h + b w + k + c A z + h + B w + k + C = a z + b w A z + B w

Passo 3

Nossa função ficará então

d w d z = F a z + b w A z + B w

Para que a EDO seja homogênea temos que

F λ z , λ w = F ( z , w )

a λ z + b λ w A λ z + B λ w = λ ( a z + b w ) λ ( A z + B w ) = a z + b w A z + B w

Logo a EDO é realmente homogênea.

b)

Primeiramente temos que realizar a mudança de variável. Derivando a equação de z em função de x .

d z d x = a + b d y d x  

z - b y a = x

Passo 4

Substituindo z na EDO.

d z d x - a = b F a x + b y + c A z - b y a +   B y + C

d z d x - a = b F z + c A z - A b y + a B y + C a a

Como a B - A b = 0

d z d x - a = b F z + c A z + y a B - a B + C y a = b F z + c A z + C a a

Logo a nossa EDO será

d z d x = a + b F z + c A z + C a a

Que é uma equação separável.

Passo 5

c)

De forma análoga ao que fizemos no item anterior temos.

d z d x = A + B d y d x

z - B y A = x

Substituindo na EDO.

d z d x - A = B F a z - B y A + b y + c A z +   B y + C

Passo 6

Como a B - A b = 0

d z d x = A + B F a z - a B y + b A y A + c z + C = A + B F a z + c A A z + C

Logo a equação é separável.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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