Exercícios Resolvidos de EDO Homogênea

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Enunciado

Determine as soluções gerais, explicitas ou implícitas, das equações diferenciais de 1ª ordem acima, com métodos apropriados para cada caso.

2 x y + y 2 + x 2 d x - 2 x 2 d y = 0

Passo 1

Já vimos que essa equação é homogênea. Primeiro vamos colocar em uma forma para melhor operar:

d y d x = x y + y 2 + x 2 x 2

Agora vamos usar a substituição y = u x

Passo 2

Fazendo a substituição y = u x temos

u + x u ' = - u 2 + u + 1 1

Fazendo aqueles algebrismos chatos:

x u ' = u 2 + 1 ⇒ x d u d x = u 2 + 1

d u u 2 + 1 = d x x

Integrando:

∫ d u u 2 + 1 = ∫ d x x ⇒ arctan ⁡ u = ln ⁡ x + C ⇒ u = tan ⁡ ln ⁡ | x | + C

Assim, substituindo u temos:

y = x tan ⁡ ( ln ⁡ | x | + C )

Resposta

y = x tan ⁡ ( ln ⁡ | x | + C )

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