Exercícios Resolvidos de EDO Homogênea

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Enunciado

Resolve as seguintes equações diferenciais. No caso da letra a), resolve o problema de valor inicial associado.

  1. d x d y = 4 1 + x 2 y 0 = 1
  2. d y d x - 2 x y = 1 x 2 y 2
  3. 1 + 2 x y d x + x 2 - 1 d y = 0
  4. y 2 + x y d x - x 2 d y = 0

Passo 1

Antes de começarmos a resolver a nossa EDO, vamos reescrever a nossa EDO. Portanto,

y 2 + x y d x - x 2 d y = 0

y 2 + x y d x = x 2 d y

d y d x = y 2 x 2 + y x

Pronto. Agora sim. Percebam que temos um caso de EDO homogênea. Isto é, podemos escrever y ' como uma função de y / x .

Para resolvermos estes casos, precisamos fazer uma substituição de variáveis. Vamos chamar v = y / x . Portanto,

y ' = d y d x = v ' x + v

Substituindo esta relação na nossa EDO, vamos obter:

v ' x + v = v 2 + v

v ' x = v 2

Passo 2

Após fazermos a mudança de variáveis, percebam que obtivemos uma EDO separável. Se não conseguem visualizar, vamos escrever v ' = d v / d x . Com esta mudança, temos:

d v d x ⋅ x = v 2

d v v 2 = d x x

Em um membro temos tudo em função de v e no outro tudo em função de x . Se a gente integra ambos os membros, obtemos:

- 1 v = ln ⁡ x + C

Estamos quase lá! Para finalizarmos a questão, precisamos, obrigatoriamente, voltar para as nossas variáveis originais. Portanto, se no lugar de v a gente coloca y / x , nós voltamos para as variáveis originais.

Sendo assim, temos:

- x y = ln ⁡ x + C

y = - x ln ⁡ x + C

E agora sim conseguimos resolver a nossa EDO.

Resposta

y = - x ln ⁡ x + C

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