Exercícios Resolvidos de EDO Homogênea

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Enunciado

Passo 1

A primeira coisa que temos que fazer nessa equação é colocarmos ela no formato característico de equação homogênea para determinar se ele é ou não uma equação homogênea.

y ' = y x - e y x

Agora temos que f x , y = y x - e y x e devemos calcular f ( λ x ,   λ y ) para determinar se elas serão iguais.

f λ x , λ y = λ y λ x - e λ y λ x = y x - e y x

Logo f x , y = f ( λ x ,   λ y ) e temos uma equação homogênea de fato.

Passo 2

Vamos utilizar o método e fazer aquela substituição clássica de homogênea.

z = y x → z x = y

d y d x = d z d x x + z

Fazendo a substituição na nossa equação teremos.

d z d x x + z = z - e z

d z d x x = - e z

- e - z d z = 1 x d x

Nós temos agora uma equação separável e só temos que resolver.

Passo 3

Integrando os dois lados da equação.

∫ - e - z d z = e - z

∫ 1 x d x = ln ⁡ x

Passo 4

Igualando as equações e somando uma constante D

e - z = ln ⁡ x + D

Chamando D = ln ⁡ C

e - z = ln ⁡ x + + ln ⁡ C

e - z = ln ⁡ C x

z = - ln ⁡ ( ln ⁡ C x )

Voltando para a variável y

y x = - ln ⁡ ( ln ⁡ C x )

y = - x ln ⁡ ( ln ⁡ C x )

Resposta

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