Exercícios Resolvidos de EDO Homogênea

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Enunciado

Questão 1: Resolva as seguintes equações diferenciais ou problemas de valor inicial, conforme seja o caso.

d )   y d x + x ln ⁡ y - ln ⁡ x - 1 d y = 0

Passo 1

Com relação a essa EDO podemos passar esse d x “dividindo”...

  y + x ln ⁡ y - ln ⁡ x - 1 d y d x = 0     →

E agora podemos isolar esse d y / d x ...

  x ln ⁡ y - ln ⁡ x - 1 d y d x = - y       →

d y d x = - y x ln ⁡ y - ln ⁡ x - 1       →

Dando uma arrumada na EDO vamos parar em...

d y d x = - y x ln ⁡ y - ln ⁡ x - 1       →

d y d x = - y x ln ⁡ y x - 1       →

d y d x = y x 1 - ln ⁡ y x  

Bem, o legal de fazermos isso que agora a gente pode perceber que se trata de uma EDO homogênea onde a gente pode fazer a seguinte mudança...

y = v x x   →

y ' = v ' x x + v x

E aí a gente chega a uma EDO mais simples...

v ' x + v = v 1 - ln ⁡ v  

E que a gente pode resolvê-la por separação! Vamos nessa?

Passo 2

Primeiro vamos jogar tudo o que tem x apenas para um lado e tudo que tem y para o outro ficando com...

v ' x = v 1 - ln ⁡ v - v       →

v ' v 1 - ln ⁡ v - v 1 - ln ⁡ v 1 - ln ⁡ v = 1 x     →

v ' v - v 1 - ln ⁡ v 1 - ln ⁡ v = 1 x     →

v ' v ln ⁡ v 1 - ln ⁡ v = 1 x     →

Lembrando que v ' = d v d x ...

1 - ln ⁡ v v ln ⁡ v d v = 1 x d x     →

Podemos integrar de ambos os lados...

∫ 1 - ln ⁡ v v ln ⁡ v d v = ∫ 1 x d x     →

∫ 1 v ln ⁡ v - 1 v d v = ln ⁡ x + C     →

Ora, a Integrando sem grandes problemas aqui:

ln ⁡ ln ⁡ v - ln ⁡ v = ln ⁡ x + C     →

ln ⁡ ln ⁡ v v = ln ⁡ x + C     →

Lembrando que y = v x ...

ln ⁡ ln ⁡ y x y x = ln ⁡ x + C

Resposta

ln ⁡ ln ⁡ y x y x = ln ⁡ x + C

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