Exercícios Resolvidos de EDO Homogênea

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Enunciado

Determine a solução geral da equação x y ' - x = y + x cos ⁡ 2 y x que satisfaz a condição inicial de y 1 = 1

Passo 1

A primeira coisa a se fazer é identificar que tipo de EDO é essa. Vamos dividir tudo por x :

y ' - 1 = y x + cos ⁡ 2 y x

Opa galera, já da pra ver de cara que se substituindo f λ x , λ y = f ( x , y ) , mas tem que colocar y ' em evidência pra isso:

y ' = 1 + y x + cos ⁡ 2 y x

É homogênea! Então vamos pro método de resolver EDO Homogênea!

Passo 2

Façamos y = z x → y ' = z ' x + z , substituindo na EDO:

z ' x + z = 1 + z x x + cos ⁡ 2 z x x

Cortando os termos iguais:

z ' x + z = 1 + z + cos ⁡ ( 2 z )

Continuando:

z ' x = 1 + cos ⁡ 2 z

Mas sabemos que z ' = d z d x , então:

d z d x x = 1 + cos ⁡ 2 z

Que é uma EDO separável galera!!

d z 1 + cos ⁡ 2 z = d x x

Integrando de ambos lados:

∫ d z 1 + cos ⁡ 2 z = ∫ d x x

Para resolver a primeira integral temos que lembrar da seguinte propriedade trigonométrica:

1 + cos ⁡ 2 z 2 = cos 2 ⁡ ( z ) → 2 cos 2 ⁡ ( z ) = 1 + cos ⁡ ( 2 z )

Substituindo:

∫ d z 1 + cos ⁡ 2 z = 1 2 ∫ d z cos 2 ⁡ ( z ) = 1 2 ∫ sec 2 ⁡ ( z ) d z = tg ⁡ z 2

A segunda integral é:

∫ d x x = ln ⁡ | x |

Ok, só não esqueça da constante! Voltando:

∫ d z 1 + cos ⁡ 2 z = ∫ d x x

Substituindo:

tg ⁡ z 2 = ln ⁡ | x | + C

Substituindo z = y x :

tg ⁡ y x = 2 ln ⁡ | x | + C

Repara que a parada continuou com C , e não ficou 2 C , isso acontecer porque trocamos a constante, multiplicar a constante por 2 faz ela continuar sendo constante, por isso continuamos com a constante igual, no final dá no mesmo, só que deixando C a conta fica menor.

Mas não esqueça que: 2 ln ⁡ | x | = ln ⁡ x 2 = ln ⁡ x 2 , pois x 2 ≥ 0   ∀   x ∈ R  

Assim ficou:

tg ⁡ y x = ln ⁡ x 2 + C

Passo 3

Não esqueça da condição inicial : y 1 = 1 , substituindo:

tg ⁡ 1 1 = ln ⁡ 1 + C → C = tg ⁡ 1

Assim a Solução é:

tg ⁡ y x = ln ⁡ x 2 + tg ⁡ ( 1 )

Ou se preferir:

y x = arctg ⁡ ( ln ⁡ x 2 + tg ⁡ ( 1 ) )

Logo:

y = x arctg ⁡ ( ln ⁡ x 2 + tg ⁡ ( 1 ) )

Resposta

y = x arctg ⁡ ( ln ⁡ x 2 + tg ⁡ ( 1 ) )

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