Exercícios Resolvidos de EDO Homogênea

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Enunciado

Resolva a equação homogênea de segunda ordem:

( x 2 - x y ) d y + ( x 2 - x y + y 2 ) d x = 0  

Passo 1

Fala aí!! Essa questão quer que a gente resolva a equação homogênea. Bom, nesse caso como temos termos de x multiplicando y não vamos conseguir fazer a separação de variáveis. Então, podemos fazer um método de substituição da seguinte maneira:

y = x . z

Eu sei que parece um pouco estranho criar uma nova incógnita para a nossa equação, mas ela vai nos ajudar. Com o tempo, esse método vai se tornando mais familiar pra gente, ainda mais por nos ajudar tanto. Beleza, vamos ver então como vai ficar a derivada d y .

Pela regra do produto, teremos:

d y = x . d z + z . d x

Passo 2

Agora que já achamos o que a gente precisava para substituir y e d y , podemos substituir na equação:

x 2 - x . x z x . d z + z . d x + x 2 - x . x z + x 2 z 2 d x = 0

( x 3 d z + x 2 z d x - x 3 z d z - x 2 z 2 d x ) + x 2 d x - x 2 z d x + x 2 z 2 d x = 0

Vamos simplificar os termos que podemos cortar e ficaremos com:

x 3 d z - x 3 z d z + x 2 d x = 0

x 3 1 - z d z = - x 2 d x

Agora, a gente consegue separar as variáveis, né? Olha como fica:

1 - z d z = - x 2 x 3 d x = - 1 x d x

Integrando dos dois lados, teremos:

∫ 1 - z d z = ∫ - 1 x d x

z - z 2 2 = - ln ⁡ x + C

CUIDADO porque a questão não termina aqui!!! Lembra o que era o z ?

z = y / x

Então, agora a gente tem que voltar com as letras que tínhamos no ínicio.

A nossa solução vai ficar:

y x - y 2 2 x 2 = - ln ⁡ x + C

Arrumando a expressão:

y 2 - 2 x y = 2 ln ⁡ x + k

Onde, k é uma constante.

Agora sim!!

Resposta

y 2 - 2 x y = 2 ln ⁡ x + k

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