Exercícios Resolvidos de EDO Homogênea

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Enunciado

Sem resolver a equação, esboce as soluções de

d y d x = - y 2 - y

Passo 1

Oiee bora resolver essa comigo?

Para esboçar as soluções da equação diferencial

d y d x = - y 2 - y

podemos usar a análise qualitativa.

Vamos procurar pelos pontos críticos, onde a derivada é zero, e traçar algumas curvas de direção para entender o comportamento das soluções.

A equação diferencial dada é:

d y d x = - y 2 - y

Primeiro, encontremos os pontos críticos, onde d y / d x   =   0 :

0   =   - y 2 -   y

Fatorando - y , obtemos:

0   =   - y ( y   +   1 )

Isso nos dá duas soluções possíveis:

1 .   y   =   0

2 .   y   +   1   =   0   = >   y   =   - 1

Passo 2

Agora, vamos traçar algumas curvas de direção:

1. Quando y > 0:

d y d x = - y 2 - y

é negativo, o que significa que a inclinação das curvas é negativa.

As soluções tenderão a diminuir à medida que você se move para a direita.

2. Quando - 1   <   y   <   0 :

d y d x = - y 2 - y

é positivo, o que significa que a inclinação das curvas é positiva.

As soluções tenderão a aumentar à medida que você se move para a direita.

Passo 3

3. Quando y   <   - 1 :

d y d x = - y 2 - y

é negativo novamente, então as soluções tenderão a diminuir à medida que você se move para a direita.

Agora, vamos considerar os pontos críticos:

- Para y   =   0 ,   d y / d x   =   0 , o que significa que as soluções podem ser horizontais neste ponto.

- Para y   =   - 1 ,   d y / d x   =   0 , novamente, as soluções podem ser horizontais neste ponto.

Portanto, as soluções da equação diferencial d y / d x   =   - y 2 -   y podem ser curvas que tendem a diminuir à medida que você se move para a direita, com pontos críticos em y   =   0   e   y   =   - 1 , onde as soluções podem ser horizontais.

A natureza exata das curvas dependerá das condições iniciais específicas.

Resposta

Vide o passo a passo.

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