Exercícios Resolvidos de EDO Homogênea

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Enunciado

Mostre que, se a e λ são constantes positivas e se b é qualquer número real, então toda

solução da equação

y '   + a y   =   b e - λ t

tem a propriedade que quando t → ∞ então y → 0 . Sugestão, analise os casos onde a = λ   e   a ≠ λ separadamente.

Passo 1

Fala galera, tudo beleza? Vamos para mais uma questão.

Nosso objetivo é verificar se a equação diferencial

y '   + a y   =   b e - λ t

tem como propriedade que se t → ∞ então y → 0 . Como podemos verificar essa propriedade? Bem, precisamos da solução geral da equação diferencial. Vamos calcular a solução geral por meio do método do fator integrante.

Primeiro, precisamos obter a solução geral da equação diferencial. Para obtermos a solução geral, usamos o método do fator integrante. O método funciona da seguinte forma:

Pegamos o lado esquerdo da equação diferencial y '   +   p ( x ) y   =   q ( x ) e multiplicamos por uma função μ ( x ) . Então temos:

y ' μ ( x )   +   p ( x ) y μ ( x )   =   q ( x ) μ ( x )

Agora vem a parte legal, nós supomos que a função μ ( x ) é tal que:

d ( y μ ( x ) ) d x = y ' μ ( x ) + y μ ' ( x ) = y ' μ ( x )   +   p ( x ) y μ ( x )

Ou seja, queremos que a derivada de y μ ( x ) seja igual a parte esquerda da nossa equação diferencial após multiplicarmos por μ . Isto é igual a y ' μ ( x )   +   p ( x ) y μ ( x ) . Dessa forma, podemos fazer o seguinte desenvolvimento.

y ' μ ( x ) + y μ ' ( x ) = y ' μ ( x )   +   p ( x ) y μ ( x )

⇒ μ ' ( x ) = p ( x ) μ ( x )

Que uma equação diferencial clássica. Temos que

μ ( x )   =   e ∫ p ( x ) d x

Essa mu é chamada de fator integrante. Depois que descobrimos quem é essa μ ( x ) , basta substituir μ ( x ) em d ( y μ ( x ) ) d x = q ( x ) μ ( x ) e descobrimos quem é y . Vamos a luta!!!

Passo 2

Vamos começar calculando a função μ ( t ) do método. Lembrando que:

μ ( t )   =   e ∫ p ( t ) d t

Se a gente comparar a nossa equação diferencial

y '   + a y   =   b e - λ t

com

y '   +   p ( t ) y   =   q ( t ) ,

temos que:

p ( t )   =   a

∫ p ( t ) d t   =   a t

Ou seja,

μ ( t )   =   e a t

Como a equação que queremos resolver é

y '   + a y   =   b e - λ t

temos que

q ( t )   =   b e - λ t

Substituindo na equação abaixo para poder encontrar y

d ( y μ ( t ) ) d t = q ( t ) μ ( t )

temos:

d ( y e a t ) d t = b e - λ t * e a t

Agora separamos em dois casos: No caso onde a = λ  

⇒ d ( y e a t ) d t = b

integrando dos dois lados temos:

y e a t = b t + C

⇒ y = b t e a t + C e a t

No caso onde a = λ   , descobrimos que a solução geral é

y = b t e a t + C e a t

Agora precisamos verificar se vale a condição se t → ∞ então y → 0 .

L i m t → ∞ y = L i m t → ∞ ( b t e a t + C e a t )

pela linearidade do limite:

= L i m t → ∞ b t e a t + L i m t → ∞ C e a t

= 0 + 0

(pois o denominador é uma exponencial)

Logo se t → ∞ então y → 0

Passo 3

Agora vamos ver o caso onde   a ≠ λ

d ( y e a t ) d t = b e - λ t * e a t

⇒ d ( y e a t ) d t = b e ( a - λ ) t

integrando dos dois lados temos:

y e a t = b e ( a - λ ) t ( a - λ ) + C

⇒ y = b e ( a - λ ) t e a t ( a - λ ) + C e a t

= b e - λ t ( a - λ ) + C e a t

No caso onde a ≠ λ   , descobrimos que a solução geral é

y = b e - λ t ( a - λ ) + C e a t

Agora precisamos verificar se vale a condição se t → ∞ então y → 0 .

L i m t → ∞ y = L i m t → ∞ ( b e - λ t ( a - λ ) + C e a t )

pela linearidade do limite:

= L i m t → ∞ b e - λ t ( a - λ ) + L i m t → ∞ C e a t

= 0 + 0

(pois a primeira parcela é uma exponencial com parâmetro negativo, e a segunda tem o denominador é uma exponencial)

Logo se t → ∞ então y → 0

Ou seja, conseguimos mostrar que a solução da equação diferencial

y '   + a y   =   b e - λ t

satisfaz que se t → ∞ então y → 0

Prontinho pessoal!! Finalizamos mais uma questão. Espero que os passos tenham ficado claros. Até a próxima questão e bons estudos!!!! 😊

Resposta

y = s i n ( t ) / t 2 - c o s ( t ) / t + π 2 / 4 t 2

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