Exercícios Resolvidos de EDO Homogênea

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Enunciado

Resolva a equação

d y d t - y t = t ⋅ e - y t y

Passo 1

Oooi povo bonito, tudo bommmm?

Nessa questão temos mais uma EDO que precisamos matar:

d y d t - y t = t ⋅ e - y t y

Tem algo bem interessante que tá acontecendo nessa equação, e que não é uma simples coincidência. Vocês sabem o que éééé?

Então galera, o detalhe legal é que na equação está sempre aparecendo o termo y / t junto.

Quando isso acontece, dizemos que a equação é do tipo homogênea. Pois:

d y d t = y t + e - y t y t = F y t

A técnica pra resolver esse tipo de equação é chamar:

y = v ⋅ t

Assim:

d y d t = d v t d t

= v + t ⋅ d v d t

Assim, vamos ficar com a seguinte equação:

v + t ⋅ d v d t = v + e - v v

⇒ t ⋅ d v d t = e - v v

Isso tudo nos ajudou bastante, porque agora caímos em uma EDO separável. Olha:

v e - v ⋅ d v = 1 t d t

Nossa missão é resolver essa EDO separável e depois tirar o v da jogada voltando para y .

Passo 2

Bom, precisamos resolver a EDO:

v e - v ⋅ d v = 1 t d t

Como trata-se de uma EDO separável, basta integrarmos dos dois lados:

∫ v ⋅ e v d v = ∫ 1 t d t

Começando pela integral do lado esquerdo, precisamos usar o método das partes. Segundo ele:

∫ w d z = w z - ∫ z d w

Chamando:

w = v d z = e v

Assim:

∫ v ⋅ e v = v e v - ∫ e v d v

= v ⋅ e v - e v

= e v ( v - 1 )

Excelente! Resolvendo agora a integral do lado esquerdo, vem:

∫ 1 t d t = ln ⁡ t + C

Onde C é uma constante (teoricamente poderíamos ter somado uma constante na integral da direita também, mas não é necessário somar duas vezes).

Assim, temos:

e v v - 1 = ln ⁡ t + C

Vamos agora tirar o v da jogada e voltar para y .

Lembrando que:

v = y t

Temos:

e y t y t - 1 = ln ⁡ t + C

Prontinho! Chegamos à equação implícita para y .

Eaí, isso de EDO tipo homogênea é uma dica muito boa né?

Boaaa! Valeeeu gente, até a próxima 😊

Resposta

e y t y t - 1 = ln ⁡ t + C

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