Exercícios Resolvidos de EDO Homogênea

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Enunciado

Encontre a solução geral y ( x ) da equação:

y ' ' - 4 y ' + 4 y = e 2 x x

Passo 1

Falaii galerinhaaa bora resolver essa comigo?

Para encontrar a solução geral da equação diferencial

y ' ' - 4 y ' + 4 y = e 2 x x

primeiro, é necessário encontrar a solução homogênea da equação associada y ' '   -   4 y '   +   4 y   =   0 e, em seguida, encontrar uma solução particular da equação original.

A soma da solução homogênea e da solução particular dará a solução geral.

**1. Solução Homogênea:**

A equação homogênea associada é:

y ' ' �� -   4 y '   +   4 y   =   0

A característica da equação é dada pela equação característica:

r 2 -   4 r   +   4   =   0

Essa equação característica tem uma raiz repetida:

r   -   2 2   =   0

Portanto, a solução homogênea é da forma:

y h ( x )   =   ( C 1   +   C 2   *   x )   *   e 2 x

Passo 2

**2. Solução Particular:**

Agora, vamos encontrar uma solução particular para a equação original:

y ' ' - 4 y ' + 4 y = e 2 x x

Vamos assumir uma solução particular na forma da função especial e 2 x multiplicada por outra função, que deve ser determinada:

y p ( x )   =   v ( x )   *   e 2 x

Agora, calcule as derivadas necessárias para encontrar y p ' '   e   y p ' :

y p ' x =   v ' x *   e 2 x   +   2 v x *   e 2 x

y p ' ' ( x )   =   v ' ' ( x )   *   e 2 x   +   4 v ' ( x )   *   e 2 x   +   4 v ( x )   *   e 2 x

Substitua essas derivadas na equação original:

v ' ' x * e 2 x + 4 v ' x * e 2 x + 4 v x *   e 2 x - 4 v ' x * e 2 x + 2 v x * e 2 x + 4 v x * e 2 x   = e 2 x x

Simplificando:

v ' ' x *   e 2 x   = e 2 x x

Agora, podemos isolar a parte da variável v(x):

v ' ' x = 1 x

Integrando ambos os lados em relação a x duas vezes, obtemos:

v ( x )   =   ∫ ∫ 1 x   d x   d x

A primeira integral é:

∫ 1 x d x   =   2 x   +   C 1

A segunda integral é:

∫ ( 2 x   +   C 1 )   d x   =   4 3   *   x 3 2   +   C 1   *   x   +   C 2

Portanto, a solução particular é:

y p ( x )   =   4 3   *   x 3 2   +   C 1   *   x   +   C 2   *   e 2 x

Passo 3

**3. Solução Geral:**

Agora que temos a solução homogênea e a solução particular, a solução geral da equação diferencial é a soma dessas duas soluções:

y ( x )   =   y h ( x )   +   y p ( x )

y ( x )   =   ( C 1   +   C 2   *   x )   *   e 2 x   +   4 3   *   x 3 2   +   C 1   *   x   +   C 2   *   e 2 x

A solução geral é dada por:

y ( x )   =   ( C 1   +   C 2   *   x )   *   e 2 x   +   4 3   *   x 3 2   +   C 1   *   x   +   C 2   *   e 2 x

Resposta

y ( x )   =   ( C 1   +   C 2   *   x )   *   e 2 x   +   4 3   *   x 3 2   +   C 1   *   x   +   C 2   *   e 2 x

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