Exercícios Resolvidos de EDO Homogênea

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Enunciado

Determine a solução geral da equação 2 x 2 y ' = y ( y + 3 x ) tal que y 1 = 1

Passo 1

Isolando o y ' :

y ' = y y + 3 x 2 x 2

Já ficou evidente que é uma equação homogênea!

Passo 2

O passo agora é fazer a substituição: y = z x :

Então y ' = z ' x + z

Substituindo isso na edo:

z ' x + z = z x z x + 3 x 2 x 2 = z 2 + 3 z 2

Passando z para o lado direto e aplicando o mmc:

z ' x = z 2 + z 2

Assim, separando:

d z z 2 + z = 1 2 x d x

Integrando de ambos lados:

∫ d z z 2 + z = ∫ 1 2 x d x

Passo 3

Para resolver a primeira integral, temos que aplicar frações parciais primeiro:

1 z 2 + z = 1 z z + 1 = A z + B z + 1 = A + B z + A z z + 1

Igualando os coeficientes:

A + B = 0 → B = - A = - 1 A = 1

Então ficou:

1 z z + 1 = 1 z - 1 z + 1

Vamos voltar pra integral:

∫ d z z 2 + z = ∫ 1 z - 1 z + 1 d z = ln ⁡ | z | - ln ⁡ z + 1 = ln ⁡ z z + 1

E a outra integral:

∫ 1 2 x d x = 1 2 ln ⁡ | x |

Subsituindo isso na igualdade:

ln ⁡ z z + 1 = 1 2 ln ⁡ | x | + c = ln ⁡ x 1 2 + ln ⁡ k = ln ⁡ k x 1 2

Com ln ⁡ k = c e k > 0

Assim ficou:

ln ⁡ z z + 1 = ln ⁡ k x 1 2

Isso só acontece se:

z z + 1 = k x 1 2

Substituindo z = y x :

y x y x + 1 = k x 1 2

Elevando ao quadrado, podemos tirar o módulo do lado esquerdo:

y x y x + 1 2 = k x

Passo 4

Substituindo a condição inicial:

y 1 = 1

Logo:

1 1 + 1 2 = k 1 = k → k = 1 4

Subsituindo:

y x y x + 1 2 = x 4

Ou para x > 0 :

y x y x + 1 2 = x 4

- ''

Resposta

y x y x + 1 2 = x 4

∀ x ∈ R

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