Exercícios Resolvidos de EDO Homogênea

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Enunciado

Mostre que a seguinte equação é homogênea e resolva-a com a substituição y x = x v x :

d y d x = x - y x + y                     x > 0 .

Passo 1

Vamos a nossa questão! Ela é bem curtinha e direta ao ponto!

Precisamos primeiro mostrar que a EDO é homogênea (e o que seria isto?) e depois resolvê-la através da substituição y x = x v x . São algumas dúvidas, mas que resolveremos ao longo da questão.

Sendo assim, vamos começar com essa identificação. Afinal, o que é uma equação homogênea? Uma EDO é homogênea se a derivada y ' puder ser escrita como função da razão y / x , isto é,

y ' = f y x

Então, precisamos reorganizar a nossa EDO para que apareça a razão y / x .

Para isto, vamos colocar a variável x em evidência, tanto no numerador quanto no denominador. Com isto, vamos obter:

d y d x = x - y x + y

d y d x = x ⋅ 1 - y x x ⋅ 1 + y x

d y d x = 1 - y x 1 + y x

Pronto! Conseguimos escrever a nossa derivada y ' como uma função de y / x . Portanto acabamos de mostrar que a EDO é homogênea!

Passo 2

Agora temos que partir para a solução em sida EDO. Vamos ter que realizar a substituição y x = x v x ⟹ v = y / x . Para isto, vamos começar derivando esta relação. Portanto, aplicando a regra do produto,

y ' = v + x v '

Substituindo esta relação na nossa EDO, temos:

d y d x = 1 - y x 1 + y x ⟹ v + x v ' = 1 - v 1 + v

x v ' = 1 - v 1 + v - v

x v ' = 1 - v - v 1 + v 1 + v = 1 - 2 v - v 2 1 + v

x d v d x = 1 - 2 v - v 2 1 + v

1 + v 1 - 2 v - v 2 d v = d x x

Passo 3

Para finalizarmos, vamos ter de integrar ambos os lados da equação anterior. Portanto,

∫ 1 + v 1 - 2 v - v 2 d v = ∫ d x x

Podemos resolver a primeira integral pelo método de frações parciais. Entretanto, também conseguimos resolve-la através de uma substituição. Para isto, vamos fazer:

u = 1 - 2 v - v 2 ⟹ d u = - 2 1 + v d v

Portanto, vamos ter a seguinte integral:

∫ d u - 2 u = ∫ d x x

Integrando ambos os membros, temos:

- 1 2 ln ⁡ u = ln ⁡ x + c

ln ⁡ x + 1 2 ln ⁡ 1 - 2 v - v 2 = c

ln ⁡ x 1 - 2 v - v 2 1 / 2 = c

x 1 - 2 v - v 2 1 / 2 = e c = c

Por fim, voltando para a variável y = x v , temos:

x 1 - 2 y x - y 2 x 2 1 / 2 = c

E assim finalizamos a questão!

Resposta

x 1 - 2 y x - y 2 x 2 1 / 2 = c

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